Fleche's Life

지난 포스팅에서 Compact가 최대최소 정리를 증명하는데 쓰였음을 봤죠. 거기서 중요했던게, "continuous image of compact set is compact"라는 것이었습니다. 그러면 Connected는 중간값 정리랑 왠지 관련있을 것 같죠? 그리고 그게 Continuous랑 관련 되면... 이미 다음 명제를 예상하고 있을 겁니다. 명제. Continuous image of Connected set is Connected. connected와 관련된 증명은, 그 정의 자체가 부정적으로 증명되기 때문에 귀류법을 많이 쓴다고 했었죠? 여기서도 그런 방식으로 증명할 겁니다. 결론을 부정, 즉 image set이 not connected, 즉 두 개의 논엠티 디스조인트 오픈셋으로 쪼개진다고 가정..

예고한 대로 이번 포스팅에서는 최대최소 정리(extreme value theorem)를 증명해보도록 하겠습니다. (최대최소 정리) 함수 $f:X\longrightarrow\mathbb{R}$가 compact set X에서 연속이라고 하자. 그러면 함수 $f$는 최댓값과 최솟값을 갖는다. 명시적으로 말하면,$$ M = \sup_{x\in X}f(x),\ \ m = \inf_{x\in X}f(x) \tag{1}$$라 하면, $f(p) = M,\ \ f(q) = m$인 점 p, q가 X에 존재한다. 식 (1)에서 상한과 하한의 의미는 아랫첨자에 해당하는 것에 대한 오른쪽 값의 집합$$\sup\{f(x)|x\in X\}, \ \ \inf\{f(x)|x\in X\} $$을 의미하며 이런 표현은 앞으로 자주 등장합..

※ 이 글의 몇몇 정의와 명제는 임의의 Metric Space에 대해 서술할 수 있습니다. 이제 우리의 주인공인 연속함수(continuous function)를 입실론-델타로 정의하고 연속함수의 가장 중요한 topological property에 대해서 알아봅시다. 정의. 함수 $f:X\longrightarrow \mathbb{R}(\text{or}\ \ \mathbb{C})$가 점 $p$에서 연속이다 라는 것은 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 양수 $\delta>0$가 존재하여$$x\in X,\ \ |x-p|0$가 존재하여,$$y\in f(X),\ \ |y-f(p)|

극한의 성질에 대해 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. 해석학에서 입실론-델타 논증을 이용해 명제를 증명하는 것으로는 첫 번째가 될텐데 어떤 식으로 진행되는지 한 번 보시기 바랍니다. 우리의 목표는 차이를 입실론보다 작게 하는 것임을 잊지 않으시면 됩니다. 다음 명제는 너무나 당연해 보이지만 꼭 확인해봐야 할 명제입니다. 항상 어떤 수학적 Object가 나오면 이게 존재하는가, 유일한가를 따져보는 것이 좋습니다. 명제. Metric Space X 위에서 정의된 함수 f가 점 p에서 극한을 가진다고 하자. 그러면 극한은 유일하다. 증명) 유일성에 관한 증명을 할 때는, 주어진 Property를 만족하는 게 두 개가 있다고 가정하고 둘이 같다고 하면 됩니다. 다시 말해서, f가 p에서 극한값 A를 갖고 f가 p에..

이제 극한을 정의해봅시다. Calculus 시간에는 직관적으로 "x가 어떤 한 점 x0로 가까이 갈 때 함수값이 어떤 값 A로 가까이 가면" 극한이 존재한다고 그러고 극한값을 A라 하고 멋있는 기호를 써서$$\lim_{x->x_0}f(x)=A$$이렇게 '얘기'를 했습니다. 저 말은 알기는 쉽지만 좀 애매한 부분이 있습니다. "가까이 간다"는 게 무엇인가. 가깝다? 우리가 어떤 두 대상이 가깝다고 할 때는 '거리'가 짧을 때 라고 이해할 수 있습니다. 우리의 공간에서 거리에 해당하는 게 바로 metric 입니다.$$d(x,x_0)$$ 가까이 "간다" 는 것은 두 대상의 거리가 점점점 계속 줄어드는 것을 의미 하겠지요. 결국 위에 말을 가까이 간다를 거리가 짧다 라는 말로 다시 써 보면 "$d(x,x_0)$..

이번 포스팅에서는 '연결성'이라는 개념에 대해서 알아보겠습니다. 컴팩트에 비해서는 직관적으로 이해하기 쉽습니다. 말 그대로 집합이 중간에 끊어지지 않고 (원소가 없지 않고) 연결되어 있다는 뜻이죠. 수학적으로 엄밀한 정의는 정의. A seperation of E is [a pair A, B of disjont nonempty open subsets of E whose union is E]. E is connected if there is no seperation of E. 한글로 쓸려다가 포기.. 영어로는 딱 한 문장 만에 써지는데. 아무튼 Connected는 특이하게도 어떤 특정한 성질을 만족하지 않을 때 정의합니다. 꼭 1 또는 자기 자신 이외에 약수를 가지지 않으면 소수라고 정의하는 것과 비슷하게 ..

지난 포스팅에서 닫힌 구간을 눈 여겨 봤습니다. 그럼 이제 실제로 그게 Compact인지를 확인해봐야 하는데, 이걸 닫힌 구간에서만 한정시키지 말고 평면 혹은 공간, 더 확장시켜서 k차원 공간에 대해서 이야기 할 수 있습니다. 이 k차원 공간을 흔히 유클리드 공간이라 부르고 칠판볼드체를 써서 $\mathbb{R}^k$로 씁니다. 이번 포스팅에서 할 얘기는 다음 하나의 Statement입니다. 정리. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 부분집합 K에 대해 다음은 동치다. (1) K is closed & bounded (2) K is compact (3) Every infinite subset of K has a limit point in K. '동치'라고 하는 것은 "p이면 q이다" 꼴의 명제가 참..

쓰기 귀찮았는데... 심심해서 다시 써봅니다. 이전 포스팅에서 Compactness에 대해서 언급했었네요. 먼저 Metric Space상에서의 집합이 Compact 하다는 것이 무엇인지 살펴봅시다. (Definition 1) A set K is compact : Every open cover of K has a finite subcover. 헐.. 이게 대체 뭔소린지.. 우선 cover가 뭔지 알아야겠네요. cover라는 것은 말 그대로 집합을 덮는 것입니다. 뭘로 덮느냐 하면은 집합들의 모임으로 덮을겁니다. 그러니까... $$K \subset\bigcup_{j\in J}A_j $$ 이면 집합모임 (영어로는 Family 혹은 Collection 이라고 합니다. Set of set이라는 말은 안 쓴다고 하..

이번 포스팅에서는 거리공간(Metric space)의 개념과 거리공간 위에서의 열림(open), 닫힘(closed) 등에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 거리공간이라는 개념은, 먼저 해석학의 원류라 할 수 있는 미적분을 어떻게 엄밀하게 잘 정의할 수 있을까 하는 생각에서 출발했습니다. 미분과 적분이 잘 정의되기 위해서는 극한이라는 개념이 엄밀하게 정의되어야 하고, 그러기 위해서 흔히 말하는 epsilon-delta법을 사용하죠. 그러기 위해서는 '두 점 사이의 거리'라는 개념이 잘 정의되어야 합니다.$$|p_n - p| < \varepsilon$$에서 절댓값에 해당하는 부분이 바로 두 점 사이의 거리에 해당합니다. 물론 이는 실수 집합 혹은 유클리드 공간에서 정의가 되겠죠. 이것을 더욱 추상화 또는 일반화..

안녕하세요. 이번 포스팅은 집합의 Countable 개념에 대해서 설명하려고 합니다. Countable 개념은 집합론(Set theory)의 창시지안 칸토어(Georg Cantor)가 고안해 낸 개념으로, 무한집합들의 크기(?)를 비교하는 것입니다. 우리가 보통 유한집합들은 원소의 갯수가 유한하므로 일일히 세어서 그 갯수 가지고 크기를 가늠할 수 있습니다. 무한집합들도 그 들 사이에 크기가 있어서 더 큰 집합이 있다는 것입니다. 우리가 잘 알고 있는 자연수와 실수만 비교해봐도, 1, 2, 3, ... 이렇게 듬성듬성 되어 있는 이산(discrete)적인 자연수 집합과, 빽빽하게 들어 차 있는 연속(continuous)적인 실수 집합은 확실히 실수 집합이 더 커 보입니다. 가산(Countable)의 정의는..