Fleche's Life

수학에서는 우리가 알고 있는 수 체계들―예를 들어 정수나 유리수 및 실수―을 추상화시켜서 나타냅니다. 이렇게 추상화 시켜서 나타낸 집합들이 어떤 특정한 성질들을 가지고 다루는 학문이 대수학이 되겠지요. 그리고 그 추상화시켜서 나타낸 대수적 구조(algebric structrue)에는 군(group), 환(ring), 체(field), 벡터공간(vetor space) 등등이 있습니다. 그 중에서도, 유리수나 실수를 추상화 시켜서 나타낸 대수적 구조를 체(Field)라고 합니다. 저번 포스팅에서 '실수 = 완비순서체'라고 언급했는데, '체'에 해당하는 게 바로 Field입니다. Field는 집합과 거기서 정의된 두 연산을 가지고 정의합니다. 이 두 연산을 덧셈(addition), 곱셈(multiplicati..

해석학은 실수의 성질을 다루는 것에서 출발합니다! 실수는 한마디로 '완비순서체'라고도 합니다. 유리수와 가장 큰 차이점이 바로 이 '완비성(completeness)'이라고 하는 것인데요. 이 완비성은 여러 가지로 표현이 됩니다. 가장 와닿는 말로는 '빈틈이 없다'는 것이죠. 중학교 때 처음 실수를 접할 때, 가장 쉬운 예로 제곱해서 2가 되는 수 등을 들죠. 유리수는 비록 완전한 하나의 쳬계를 갖추고 있지만, 위와 같이 2의 제곱근, pi나 e와 같은 무리수 등 말이죠. 그래서 이 갭을 채우기 위해 유리수로부터 이끌어낸(construct) 새로운 수의 체계를 실수(real number)라고 합니다. 그래서 실수의 여러 가지 성질들을 이야기하기 위해서는 순서(order)라는 개념이 필요합니다. 순서는 어떤..

Walter Rudin의 PMA책을 바탕으로 학부 수준의 해석학을 나름대로 해석해보려고 합니다. 책이 영어로 되어있는 특성상 풀어서 설명하다 보면 용어들을 맘대로 한글로 써 버리게 됩니다. 최대한 자연스럽게 쓰려고 노력은 하는데, 그냥 아무 생각없이 영어랑 혼용하기도 하고 ... 그럴 것 같습니다. -------------------------------------------------------------------------14/11/25+ Reference김성기, 김도한, 계승혁 - Munkres -