Fleche's Life

이번 포스팅에서는 일계 선형 상미분 방정식(first-order linear ODE)에 대해 다룹니다. 저번 포스팅에서 설명한 것과 같이 미분 방정식에서 y와 그의 도함수들이 x의 함수와의 선형결합으로 이루어져 있으면 선형(linear)라고 부릅니다. 이 때, y가 없는 항(term)이 0이면 동차(homogeneous), 0이 아니면 비동차(nonhomoegeneous)라고 합니다. 일계 상미분 방정식에서는 형태가$$y'+p(x)y=r(x)$$와 같고, 이를 표준형(standard form)이라고 부릅니다. 그리고 $r(x)\equiv 0$이면 동차, $r(x)\not \equiv 0$이면 비동차가 되겠죠. $=$이 아니라 $\equiv$ 기호를 사용한 이유는 어떤 점에서 함숫값이 0이라는 뜻이 아니라..

이번 포스팅에서는 일계 상미분 방정식에서, 완전 미분 형식(Exact differential form)을 가지고 있는 경우를 알아보겠습니다. 주로 물리학과 공학에서 이런 전미분(total differential)의 형태가 쓰입니다. 전미분이란, 독립변수 각각에 대하여 연속인 편도함수(partial derivative)를 가지고 있는 함수 $u(x,y)$―두 개의 변수가 아니어도 됩니다만, 편의상 이렇게 썼습니다―에 대해$$du={\partial u\over\partial x}dx+{\partial u\over\partial y}dy$$와 같은 꼴을 말합니다. 여기서 $du=0$이면, u가 상수가 됩니다. 그러면 이건 partial이 들어가 있지만 x,y 두개의 변수를 독립변수-종속변수 처럼 취급해서 쓸 ..

공학수학 첫 포스팅으로 상미분 방정식(ordinary differential equations)부터 시작합니다. 이번 포스팅은 그 중 가장 기초인 분리형(separable form)에 대해서 다루어 볼까 합니다. 상미분 방정식은 독립변수(independent variable)하나를 포함하는 미분 방정식을 의미합니다. 독립변수가 하나이기 때문에, 모든 도함수(derivative)들은 그 독립변수로 미분한 것으로 봅니다. 미분 방정식에서 해를 구한다는 것은 $y'$이나 ${dy\over dx}$와 같은 미분 형태가 없는 꼴로 나타내는 것을 뜻합니다. 미분 방정식은 계수(order)와 선형성(linear), 그리고 선형 미분 방정식은 또, 동차(homogeneous)와 비동차로 구분할 수 있습니다. 상미분 방..