Fleche's Life

※ 이 글의 몇몇 정의와 명제는 임의의 Metric Space에 대해 서술할 수 있습니다. 이제 우리의 주인공인 연속함수(continuous function)를 입실론-델타로 정의하고 연속함수의 가장 중요한 topological property에 대해서 알아봅시다. 정의. 함수 $f:X\longrightarrow \mathbb{R}(\text{or}\ \ \mathbb{C})$가 점 $p$에서 연속이다 라는 것은 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 양수 $\delta>0$가 존재하여$$x\in X,\ \ |x-p|0$가 존재하여,$$y\in f(X),\ \ |y-f(p)|

극한의 성질에 대해 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. 해석학에서 입실론-델타 논증을 이용해 명제를 증명하는 것으로는 첫 번째가 될텐데 어떤 식으로 진행되는지 한 번 보시기 바랍니다. 우리의 목표는 차이를 입실론보다 작게 하는 것임을 잊지 않으시면 됩니다. 다음 명제는 너무나 당연해 보이지만 꼭 확인해봐야 할 명제입니다. 항상 어떤 수학적 Object가 나오면 이게 존재하는가, 유일한가를 따져보는 것이 좋습니다. 명제. Metric Space X 위에서 정의된 함수 f가 점 p에서 극한을 가진다고 하자. 그러면 극한은 유일하다. 증명) 유일성에 관한 증명을 할 때는, 주어진 Property를 만족하는 게 두 개가 있다고 가정하고 둘이 같다고 하면 됩니다. 다시 말해서, f가 p에서 극한값 A를 갖고 f가 p에..

이제 극한을 정의해봅시다. Calculus 시간에는 직관적으로 "x가 어떤 한 점 x0로 가까이 갈 때 함수값이 어떤 값 A로 가까이 가면" 극한이 존재한다고 그러고 극한값을 A라 하고 멋있는 기호를 써서$$\lim_{x->x_0}f(x)=A$$이렇게 '얘기'를 했습니다. 저 말은 알기는 쉽지만 좀 애매한 부분이 있습니다. "가까이 간다"는 게 무엇인가. 가깝다? 우리가 어떤 두 대상이 가깝다고 할 때는 '거리'가 짧을 때 라고 이해할 수 있습니다. 우리의 공간에서 거리에 해당하는 게 바로 metric 입니다.$$d(x,x_0)$$ 가까이 "간다" 는 것은 두 대상의 거리가 점점점 계속 줄어드는 것을 의미 하겠지요. 결국 위에 말을 가까이 간다를 거리가 짧다 라는 말로 다시 써 보면 "$d(x,x_0)$..