연속함수(Continuous)

※ 이 글의 몇몇 정의와 명제는 임의의 Metric Space에 대해 서술할 수 있습니다.

 이제 우리의 주인공인 연속함수(continuous function)를 입실론-델타로 정의하고 연속함수의 가장 중요한 topological property에 대해서 알아봅시다.

정의. 함수 $f:X\longrightarrow \mathbb{R}(\text{or}\ \ \mathbb{C})$가 점 $p$에서 연속이다 라는 것은 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 양수 $\delta>0$가 존재하여

$$x\in X,\ \ |x-p|<\delta\ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-f(p)|<\epsilon \tag{1}$$

인 것을 말한다. 정의역 X에 있는 모든 점에서 연속일 경우 함수 $f$는 $X$에서 연속, 혹은 간단히 $f$는 연속함수라고 한다.

 연속의 정의를 극한의 입실론-델타 정의와 비교해봅시다. 우선 (1)의 결론을 보면 부등식의 좌변에 있는 극한값 A 자리에 f(p)가 들어앉아 있네요. 그러니까 점 p에서 연속이라는 것은 점 p에서 극한값이 존재하고 그 극한값이 f(p), 즉 함수값이 된다는 고등학교 혹은 Calculus 시간에 배운

$$\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)$$

와 매우 유사해 보입니다(살짝 다른데 곧 나옵니다). 또, (1)의 가정을 보면 극한에는 있었던 "0<" 부분이 빠져있죠? x = p이면 당연히 $|f(x) - f(p)| = 0 < \epsilon$ 이기 때문에 점 x = p를 추가해도 상관이 없습니다. 마지막으로 유의해야 할 부분은 점 p가 limit point일 필요 없다는 것입니다. 따라서 점 p가 isolated point이면 정의역에 있는 점들이 p를 중심으로 하는 델타 근방에 점 p 빼고는 하나도 안들어가게 할 수 있습니다. 그러면 (1)의 결론은 자동으로 만족되기 때문에 p에서 연속이 됩니다. 따라서 다음과 같이 정리해 볼 수 있겠습니다.

명제. 함수 $f$가 점$p$에서 연속이면 다음의 둘 중 하나다.

(a) $p$는 $X$의 isolated point이다.

(b) $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)$

또 (a)이거나 (b)이면 점 $p$에서 연속이다. 그러니까 필요충분조건이다.

따라서 (b)를 이용하면 지난번에 증명한 극한의 성질로 부터 연속함수를 더하거나 상수배하거나 곱하거나 나눠도 연속이라는 사실을 얻을 수 있습니다.

명제. 실함수(또는 복소함수) $f$와 $g$가 $X$에서 연속이면 $f+g$, $cf$, $fg$, $f/g$도 $X$에서 연속이다. 이 때 $c\in \mathbb{R}(\text{or}\ \ \mathbb{C})$이고, $f/g$에서 $g \neq 0$이다.

증명. Isolated point이면 연속이다. Limit point이면, 극한의 성질로부터 증명된다.

 이제 우리는 함수 $f(x)=x$가 실수 전체에서 연속이라는 것만 보이면 모든 다항함수가 실수 전체에서 연속이고, 유리함수가 분모가 0이 아닌 모든 실수에서 연속이라는 것을 알 수 있습니다. 이 경우 간단히 $\delta = \epsilon$이라 두면 모든 실수 p에서 (1)이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 또, 지수함수, 삼각함수 등을 정의하지는 않았지만 연속함수를 합성해도 연속인 것을 보이면 $\sqrt{x^3+1},\ \ \sin(x^2)$ 등이 적당한 함수의 정의역에서 연속이라는 것을 알 수 있습니다(이러한 함수의 정의는 나중에 Power Series를 통해 정의하도록 하겠습니다). 또한 다음과 같은

$$\lim_{x\rightarrow 0}e^{-x^2}=1,\ \ \lim_{x\rightarrow 2}\log(x+1)=\log3$$

합성함수의 극한을 구할 수 있습니다. Rough하게 말하면, lim이 연속함수 안으로 들어갈 수 있습니다. 그런데 증명은 되게 간단합니다.

명제. 실함수(또는 복소함수) $f:X\rightarrow Y$가 점 $p$에서 연속이고, $g:f(X)\rightarrow Z$가 점 $f(p)$에서 연속이면, 합성함수 $h:X\rightarrow Z$를

$$h(x)=g(f(x))$$

로 정의하면, h는 점 $p$에서 연속이다.

 f(X)는 X에 있는 모든 점들의 함수값을 모아놓은 집합입니다. 이를 f에 의한 X의 image라고 합니다. 그리고 당연히 f(X)는 f의 공역(codomain 혹은 range)인 Y의 부분집합입니다. 

[생각 : 우리는 차이를 입실론보다 줄이고 싶다. 즉, |g(f(x)-g(f(p))|를 작게 만들고 싶다. 그런데 g가 f(p)에서 연속이라는 것을 알고 있으니까 f(x)와 f(p)의 차이가 엄청 작으면 될 거 같다. 그런데 우리는 f가 p에서 연속이라는 것을 알고 있으니까 x와 p의 차이를 줄여서 f(x)와 f(p)의 차이를 줄일 수 있다.]

증명) 임의의 $\epsilon>0$이 주어져 있다. 함수 g가 f(p)에서 연속이므로 $\eta>0$가 존재하여,

$$y\in f(X),\ \ |y-f(p)|<\eta\ \ \Longrightarrow\ \ |g(y)-g(f(p))|<\epsilon \tag{2}$$

이다. 함수 f가 p에서 연속이므로 $\delta>0$가 존재하여

$$x\in X,\ \ |x-p|<\delta\ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-f(p)|<\eta \tag{3}$$

이다. 따라서 $x\in X$이고, $|x-p|<\delta$이면 (3)에 의해 $|f(x)-f(p)|<\eta$ 이고, 그러므로 (2)에 의해 $|g(f(x))-g(f(p))|<\epsilon$이다. 따라서 h는 f(p)에서 연속이다.

 이제 우리의 메인 정리가 나옵니다. 그전에 역상(inverse image)에 대한 개념이 필요한데, f의 공역의 부분잡합 A가 있으면 여기서 $f^{-1}(A)$는 함숫값이 A의 원소가 되는 모든 X에 있는 점들의 집합을 말합니다. 그러니까

$$f^{-1}(A) = \{x\in X|f(x)\in A\}$$

를 f에 의한 A의 inverse image라고 합니다.

정리. 함수 $f:X\rightarrow Y$가 X에서 연속이면 임의의 Y의 open set $V$에 대해 $f^{-1}(V)$이 X에서 open이다. 그리고 역도 성립한다.

증명)

$(\Rightarrow)$ V를 Y의 open set이라 하자. $f^{-1}(V)$가 open 임을 보이기 위해서는 $f^{-1}(V)$에서 임의의 점 p를 잡아서 x의 근방이 $f^{-1}(V)$에 들어감을 보이면 된다. 점 f(p)가 open set V의 원소이므로$N(f(p),\epsilon)\subset V$인 f(p)의 근방이 존재한다. 함수 f가 점 p에서 연속이므로

$$|x-p|<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-f(p)|<\epsilon$$

인 양수 델타가 존재한다. 이 말은 정확하게 다음과 똑같다.

$$x\in N(p,\delta)\ \ \Longrightarrow\ \ f(x)\in N(f(p),\epsilon)\subset V$$

따라서, $N(p, \delta)\subset f^{-1}(V)$. $\therefore f^{-1}(V)\text{ is open.}$

 반대쪽 증명도 거의 같습니다. 그대로 거꾸로 따라가면 되지만 중요하므로 다시 한번 쓰면

$(\Leftarrow)$ 양수 $\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. f가 X에서 연속임을 보이기 위해서는 X의 임의의 점 p를 잡아서 |f(x)-f(p)|가 입실론보다 작아지는 델타를 잡으면 된다. $V = N(f(p),\epsilon)$이라 하면 Y에서 open이므로 이것의 inverse image $f^{-1}(V)$도 open이다. 점 p가 open set $f^{-1}(V)$의 원소이므로 $N(p,\delta)\subset f^{-1}(V)$인 p의 근방이 존재한다. 따라서

$$x\in N(p,\delta)\ \ \Longrightarrow\ \ f(x)\in V = N(f(p),\epsilon)$$

이 말은 정확하게 다음과 똑같다.

$$|x-p|<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-f(p)|<\epsilon$$

 $\therefore f\text{ is continuous at p.}$

 결국 우리는 입실론-델타로 정의한 연속이란 말을 열린 집합(open set)의 용어로 쓸 수 있습니다. "f가 연속이란 것은 open set의 inverse image가 open이다" 그런데 입실론-델타로 정의하기 위해서는 거리 개념이 필요하며 따라서 Metric space이어야 합니다. 그래서 위상수학(Topology)에서는 Metric Space가 아닌 공간에서도 연속함수를 생각하기 위해서 open set의 inverse image가 open인 함수를 연속함수로 정의 하고 시작합니다. 아무튼 연속함수의 이 성질은 해석개론에서 나오는 정리에서 가장 중요한 정리 중 두 번째라고 해도 되겠습니다(첫 번째는 Heine-Borel 정리). 이것을 가지고 우리는 최대최소정리와 중간값정리를 다음 포스팅과 다다음 포스팅에서 증명할 것입니다.