함수의 극한

 이제 극한을 정의해봅시다. Calculus 시간에는 직관적으로 "x가 어떤 한 점 x0로 가까이 갈 때 함수값이 어떤 값 A로 가까이 가면" 극한이 존재한다고 그러고 극한값을 A라 하고 멋있는 기호를 써서

$$\lim_{x->x_0}f(x)=A$$

이렇게 '얘기'를 했습니다. 저 말은 알기는 쉽지만 좀 애매한 부분이 있습니다. "가까이 간다"는 게 무엇인가. 가깝다? 우리가 어떤 두 대상이 가깝다고 할 때는 '거리'가 짧을 때 라고 이해할 수 있습니다. 우리의 공간에서 거리에 해당하는 게 바로 metric 입니다.

$$d(x,x_0)$$

 가까이 "간다" 는 것은 두 대상의 거리가 점점점 계속 줄어드는 것을 의미 하겠지요. 결국 위에 말을 가까이 간다를 거리가 짧다 라는 말로 다시 써 보면 "$d(x,x_0)$가 줄어들면 $d(f(x),A)$도 줄어든다." 그런데 얼마나 줄어든다는 말인지... 거리는 양수니까 기껏해야 0 이상이겠죠? 그러니까 거리가 0에 근접하겠죠. 0에 근접한다라... 근접? 이라는 말도 또 애매하네요. 음 한번 거꾸로 생각해봅시다. 0에 근접 안하면 어떻게 될까요. 그러면 0하고 거리 사이에 '갭'이 생깁니다. 갭이 생기면 자연스럽게 떠오르는 생각은 그 사이에 어떤 실수값이 존재한다는 것이죠.

$$d(f(x),A)가 0으로 안 간다.\Leftrightarrow 0< a < d(f(x),A)인 실수 a가 있다.$$

 자 이러면 거의 다왔습니다. 이제 0으로 간다고 칩시다. 그러면 0하고 d사이에 어떠한 실수도 없어요. 반대로 말하면 어떠한 0보다 큰 실수보다도 d(f(x),A)가 더 작단 소리입니다. 어떨때 그런데? d(x,x_0)가 줄어들때.. 줄어든다는 말을 다시 바꾸면 d(x,x_0)가 어떠한 0보다 큰 실수보다 작을 때 d(f(x,A))가 어떠한 0보다 큰 실수보다 작다? 좀 이상하죠? 0 이상인 수가 0보다 큰 어떤(모든) 수 보다도 작다면 그 수는 0이여야 할 건데. 그런데 한 가지 간과한게 있습니다. 앞에 d랑 뒤에 d가 0으로 가는 과정은 동시에 0으로 가는 과정입니다. 이게 무슨소린가 살펴보려면 gif그림으로 보면 매우 명쾌한데 어떻게 만드는지 모르니까 그냥 말로 해봅시다.

 그니까 앞에 d, 즉 d(x,x_0)가 0으로 달리고 있습니다. 0으로 달리고 있는 순간을 딱 캡쳐를 해보면 그 순간은 아직 0하고 갭이 좀 있습니다. 물론 이 순간에 d(f(x),A)도 0이랑 갭이 있습니다. 자 그런데 결국 0으로 갑니다. 그러니까 캡쳐한 순간 중에서 d(f(x), A)가 실수 a 보다도 작아지는 순간이 있을 겁니다. a는 양수 아무거나 가능하겠죠. 그 때 도 마찬가지로 d(x,x_0)도 0이랑 갭이 있겠죠. 자 이제 시간을 좀 더 돌려봅시다. 다음 순간을 봅시다. d(x, x_0)는 계속 0으로 가니까 갭은 좀 더 줄어들었겠죠. d(f(x),A)는? 늘어났을 수도 있고 줄어들었을 수도 있습니다. 즉 a보다 커질 수도 있고 작아질수도 있습니다. 그런데 한 가지 확실한 것은 d(x, x_0)가 많이 줄어들면 어떤 순간 이후로는 캡쳐한 장면 전부다 d(f(x),A)가 a보다 작을 겁니다. 그렇지 않으면 d(f(x),A)가 0으로 간다고 할 수 없습니다(왜 그런지 한 번 곰곰히 생각해 보세요). 그 '어떤 순간'을 그리스 소문자 $\delta$를 써서

$$d(x, x_0)<\delta$$

라고 합시다. 그런데 그 '어떤 순간'은 a에 의존합니다. 즉 a값에 따라서 델타가 바뀝니다. 그렇기는 하지만 a가 뭐든지 상관없이 양수이기만 하면 '어떤 순간' 델타가 존재해야 한다는 것이죠. 이제 멋있게 쓸려고 a를 그리스 소문자 $\epsilon$으로 바꿉시다. 그리고 '뭐든지 상관없이'를 멋있게 쓰면 $\forall$ 이고 For any라고 읽습니다. '존재한다'를 멋있게 쓰면 $\exists$로 쓰고 There exists라고 읽습니다. 자 이제 전체 문장을 멋있게 쓰면

$$\forall \epsilon >0, \exists \delta >0 such that 0<d(x, x_0)<\delta\Rightarrow d(f(x),A)<\epsilon$$

라고 쓰고 For any positive epsilon, there exists delta such that blabla 라고 읽습니다. 여기서 델타하고 입실론이 등장하기 때문에 이를 특별히, 입실론-델타 논증(epsilon-delta argument)이라고 합니다.

 우선 살펴볼 수 있는 것은 방금전에 말했듯이 델타가 입실론에 의존한다는 것입니다. 그걸 명확하게 하기 위해 $\delta(\epsilon)$ 이라고 쓰기도 합니다. 한 가지 집고 넘어가야 될 점이 있는데 0 < d(x, x_0). x0에서 극한을 정의할 때 그 점 x0 은 빼고 생각했던 것을 Calculus 시간에 기억하실 겁니다. 즉 $x\neq x_0 \Leftrightarrow d(x, x_0) > 0$ 이니까 저렇게 뒀습니다.

 좀 복잡하죠? 이걸 그림으로 한 번 봅시다 다음과 같이 간단힌 실수위의 함수를 생각해보면, 실수에서는 거리가 절댓값으로 주어지기 때문에, d를 풀어보면

$$x_0-\delta<x<x_0+\delta, x \neq 0\Rightarrow A-\epsilon<f(x)<A+\epsilon$$

요런 식임을 알 수 있습니다. 그림상으로는 A-입실론과 A+입실론 사이의 '띠(strip)' 안에서 f(x)가 놀수 있도록 델타를 작게 잡는 것입니다.

 엑스제로 - 델타와 엑스제로 - 델타 사이 구간에서 함수값이 저 띠 안에서 놀고 있는 것을 확인할 수 있습니다. 여기서 입실론을 더 줄이면 델타는 다음과 같이

 입실론에 맞춰서 델타를 줄여야 함수값을 저 띠 안에서 놀게 할 수 있습니다. 따라서 우리의 목표는 주어진 입실론이 있으면 저 띠 안에서 놀 수 있도록 양 쪽으로 델타만큼의 우리안에 x를 가두는 것입니다.

 또 하나 유의해야할 점은 x_0에 추가적인 가정이 들어갑니다. x_0가 정의역의 limit point일때만 극한을 정의할 겁니다. 왜냐면 limit point가 아니면, 정의역에 있는 점이 전부 안 들어가도록 델타 근방을 잡을 수 있죠. (지난 포스팅 참고) 그러면 주변으로 가까이 다가가는 점이 없으니까 극한이라는 개념은 있으나 마나하게 됩니다.

 앞으로는 임의의 Metric Space에서 생각하지 않고 간단하게 실수 에서만 생각합시다. 이 제한은 나중에 풀겠습니다. 하지만 우리의 논의는 임의의 metric space로 확장할 수 있습니다. 위에 있는 장황한... 설명을 다 종합해서 다시 제대로 정의를 내리면.

정의. (Limit of one variable real function)

실수의 부분집합 X에서 정의된 함수 $f\longrightarrow\mathbb{R}$가 있고, 점 $x_0$이 X의 limit point라고 하자. 만약 임의의 양수$\epsilon>0$에 대하여 양수 $\delta$가 존재하여, $x\in X$에 대해

$$0<\mid x-x_0\mid<\delta\ \ \Longrightarrow\ \ \mid f(x)-A \mid <\epsilon$$

이면 점 $x_0$에서 함수 $f$의 극한이 $A$라 하고, 이를

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$$

또는

$$f(x)\longrightarrow A\ \ as\ \ x \longrightarrow x_0$$

라 쓴다.

 비슷한 방법으로 x가 무한대로 가거나, 극한값이 무한대로 가는 경우도 정의할 수 있습니다. 무한대로 간다는 것은 "임의의 실수보다 크다"로 바꿔치기 할 수 있으므로 저 정의에서 한 쪽 부분을 x>N 혹은 f(x)>M 등으로 바꾸면 됩니다. 음의 무한대로 가는 것은 부등호를 뒤집어주면 됩니다.

 다음 포스팅은 극한의 성질에 대해서 간단히 살펴보도록 하겠습니다.

 p.s.폰트가 마음에 안 들어서 뒤에 살짝 바꿔봤는데 나름 괜찮은 것 같네요?