Fleche's Life

지난 포스팅에서 Compact가 최대최소 정리를 증명하는데 쓰였음을 봤죠. 거기서 중요했던게, "continuous image of compact set is compact"라는 것이었습니다. 그러면 Connected는 중간값 정리랑 왠지 관련있을 것 같죠? 그리고 그게 Continuous랑 관련 되면... 이미 다음 명제를 예상하고 있을 겁니다. 명제. Continuous image of Connected set is Connected. connected와 관련된 증명은, 그 정의 자체가 부정적으로 증명되기 때문에 귀류법을 많이 쓴다고 했었죠? 여기서도 그런 방식으로 증명할 겁니다. 결론을 부정, 즉 image set이 not connected, 즉 두 개의 논엠티 디스조인트 오픈셋으로 쪼개진다고 가정..

예고한 대로 이번 포스팅에서는 최대최소 정리(extreme value theorem)를 증명해보도록 하겠습니다. (최대최소 정리) 함수 $f:X\longrightarrow\mathbb{R}$가 compact set X에서 연속이라고 하자. 그러면 함수 $f$는 최댓값과 최솟값을 갖는다. 명시적으로 말하면,$$ M = \sup_{x\in X}f(x),\ \ m = \inf_{x\in X}f(x) \tag{1}$$라 하면, $f(p) = M,\ \ f(q) = m$인 점 p, q가 X에 존재한다. 식 (1)에서 상한과 하한의 의미는 아랫첨자에 해당하는 것에 대한 오른쪽 값의 집합$$\sup\{f(x)|x\in X\}, \ \ \inf\{f(x)|x\in X\} $$을 의미하며 이런 표현은 앞으로 자주 등장합..

※ 이 글의 몇몇 정의와 명제는 임의의 Metric Space에 대해 서술할 수 있습니다. 이제 우리의 주인공인 연속함수(continuous function)를 입실론-델타로 정의하고 연속함수의 가장 중요한 topological property에 대해서 알아봅시다. 정의. 함수 $f:X\longrightarrow \mathbb{R}(\text{or}\ \ \mathbb{C})$가 점 $p$에서 연속이다 라는 것은 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 양수 $\delta>0$가 존재하여$$x\in X,\ \ |x-p|0$가 존재하여,$$y\in f(X),\ \ |y-f(p)|