컴팩트(Compactness)

 쓰기 귀찮았는데... 심심해서 다시 써봅니다. 이전 포스팅에서 Compactness에 대해서 언급했었네요. 먼저 Metric Space상에서의 집합이 Compact 하다는 것이 무엇인지 살펴봅시다.

(Definition 1) A set K is compact : Every open cover of K has a finite subcover.

 헐.. 이게 대체 뭔소린지.. 우선 cover가 뭔지 알아야겠네요. cover라는 것은 말 그대로 집합을 덮는 것입니다. 뭘로 덮느냐 하면은 집합들의 모임으로 덮을겁니다. 그러니까...

$$K \subset\bigcup_{j\in J}A_j $$

이면 집합모임 (영어로는 Family 혹은 Collection 이라고 합니다. Set of set이라는 말은 안 쓴다고 하는군요) $\{A_j\}$ 를 K의 cover라고 합니다. 그럼 open이라는 것은? 각각의 $A_j$들이 open set이라는 것입니다. 마지막으로 finite subcover를 갖는다는 것은 유한개의 $A_j$들로 K를 덮을 수 있다는 것입니다. 

$$ K \subset A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_m $$

 그러니까 일반적으로 cover라고 하면 집합들이 무한개 심지어는 uncountably 많을 수도 있는데, 그 중에 유한개 만 골라도 덮을 수 있는 Property를 가지면 compact라고 합니다.

그래서 뭐가 어쨌다는 건데??

... 해석학 책에서는 이렇게 정의하고 Definition만 가지고 Compact set의 여러 성질들을 characterize 해 나가는데.. Metric Space까지는 이해할 수 있다고 치자.. 근데 뜬금없이 cover가 튀어나오는 건 뭥미?

 이에 대해서 다음을 먼저 살펴봅시다. 우선 미적분학(Calculus) 혹은 고등학교 때 들어본 적 있는 다음과 같은 정리를 생각해봅시다.

최대최소 정리 : 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수는 최대값과 최솟값을 갖는다.

중간값 정리 : 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f에 대해 $f(a) < r < f(b)$라 하면 $f(c) = r$ 인 c가 (a, b)에 존재한다.

평균값 정리 : 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f에 대해

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$$

가 되는 c가 (a, b)에 존재한다.

 뭔가 공통점이 눈에 보이시나요? 미적분학에서 우리가 다루었던 중요한 정리들은 닫힌 구간에서만 성립한다는 것입니다. 그리고 열린 집합에서는 성립안하는 반례들과 여러 가지 그림들이 고등학교 교과서 혹은 참고서에 나와있던게 어렴풋이 기억나네요.. 그래서 결론적으로 우리가 하고 싶은 것은

닫힌 구간이 뭐가 그렇게 잘났길래? 왜 닫힌구간이여야 하는데?

입니다. 무엇일까요? 뭐 결론은 뻔하겠죠... 이 글의 제목이 compactness이니까요(사실 중간값 정리는 다른 property가 있는데 뒤에 다뤄보도록 하겠습니다.). 결론부터 말하자면 그렇습니다. 그리고 최종적으로는 미적분학의 기본정리를 증명하는데 위 정리들이 쓰입니다. 이는 고등학교 교과서에도 나와있씁니다, 하지만

??? -> 최대최소 정리 -> 평균값 정리 -> 미적분학의 기본정리

 왜 최대최소 정리가 성립하는지는 "그냥 그림상 그러니까 그렇다" 하고 받아들이고 넘어갑니다. 그래서 우리의 Basic Goal은

극한, 미분, 적분의 개념을 엄밀히 정의하고 미적분학의 기본정리를 증명해보자!

입니다. 왜 basic goal이 이제야 나오냐 하면은 포스팅 날짜를 보면 알 수 있을겁니다... 계단을 올라가서 내려다보니까 명확히 보인다고나 할까요?

 그래서 우리는 닫힌 구간이 compact라는 사실을 증명하고 그 사실을 바탕으로 연속함수와 함께 (위의 정리들을 보면 연속이라는 가정이 다 들어가있죠?) 실타래들들 하나하나 풀어가보도록 하겠습니다.

 그런데 뭔가 좀 이상하죠? compact의 정의로 다시 되돌아가서 봅시다. 도대체 이 정의를, 어떻게 닫힌 구간에서 생각을 해냈을까요? 사실 처음에 수학자들이 생각한 compact의 정의(즉, 닫힌구간의 성질)는 이게 아니였습니다. 

(Definition? 2) K is compact : Every infinite subset of K has a limit point in K.

 극한점(limit point)에 대해서는 저번 포스팅에서도 잠깐 다뤘지만 remind 하면 집합 E의 극한점 p는 점 p를 중심으로 근방을 아무리 작게 잡아도 집합 E의 원소가 그 근방 안에 있다는 것입니다. 즉 p 주변에 집합 E의 원소가 대따 많아서, 우리가 근방을 엄청 작게 잡아서 집합 E에 있는 원소가 안들어가게 하고 싶어도 그렇게 할 수가 없다는 것이죠. 

 이제 열린 구간과 닫힌 구간의 극한점을 한 번 생각해볼까요? 먼저 닫힌 구간 [0, 1]을 생각해봅시다. 0은 [0, 1]의 극한점일까요? 0 주변으로 근방(여기서는 실직선 위니까 원이 아니라 열린구간이겠죠)을 아주아주 작게 잡아도 0.000000000000000000000000000000001 만큼 작은 놈이 있어서 그보다 더 작게 잡아도 더 작은 놈이 있어서 [0,1]에 들어갑니다. 

<뭔가 그림으로 나타내고 싶은데 귀찮아서... 의지가 생긴다면 한 번 올려보도록 하겠습니다.>

 물론 열린구간 (0,1)에서도 마친가지로 0이 극한점이 됩니다. 그런데 닫힌 구간[0, 1]은 점 0을 포함하고 있는 반면(0을 점이라 하니까 이상하죠? 우리는 Metric Space 위에서 놀고 있습니다), (0, 1)은 점 0을 포함하고 있지 않죠. 그래서 [0, 1]은 (0, 1)과는 좀 다른 놈입니다. 위상수학적으로(topologically) 다르다고 말하기도 합니다. 사실은 우리의 Definition 2는 모든 무한 부분집합에 대해서 적용해봐야 하는데.. 뭐 어쨌든 처음엔 compact를 그런 식으로 이해했습니다.

 그런데 수학자들이 수학을 하다보니까 Metric Space말고 이상한 공간에서도 compact를 생각할 필요가 있게 되었고 우리의 Definition 2는 Metric Space에서는 만족스럽지만 다른 공간에서는 좀 부족한 정의입니다. 그래서 좀 더 강한 개념이 필요했고 결국 open cover로 정의한 Definition 1을 compact로 하기로 하고 우리의 Definition2는 limit point compact라고 하는 다른이름으로 불리게 되었습니다.

 아니 그러면... 이왕 compact를 Definition 2로 정의했으면 open cover를 이용한 정의는 원래 Definition에 조건을 더 추가했을 때 만족하는 성질로 봐야 맞는 거 아닌가? 하실텐데... 수학자들은 정의를 까다롭고 복잡하게 하면 정리를 증명하기 쉬워지기 때문에 역사적 흐름을 개무시하고 새로 정의를 어렵게 만듭니다. 쉽게 시작해서 어렵게 갈래요? 아니면 어렵게 시작해서 쉽게 갈래요? 그래서 배우는 사람 입장에서는 처음이 어렵습니다;;

 이 컴팩트라는 개념은 또 하나 중요한 점이 있는데, Local Property를 Global Property로 바꿔줍니다. Local Property란 어떤 점 혹은 그 점 주변에서만 성립하는 성질을 의미하고, Global Property는 그 집합 전체에서 성립하는 성질을 말합니다. 이는 앞으로 Uniformly 혹은 Equi와 같은 수식어가 등장할 때 살펴보겠습니다. 해석학에서 굉장히 중요한 것 중 하나게 이게 집합의 각각의 점에서 Local하게 성립하는지 아니면 집합 전체에서 Uniform하게 성립하는지 따져보는 것입니다.

 음 이번 포스팅은 컴팩트 개념 소개만 하고 마쳤네요. 다음번 포스팅에서는 실제로 닫힌 구간(closed interval)이 컴팩트인지 확인해보도록 하겠습니다. 이는 해석학에서 중요한 정리 중에 우리가 첫 번째로 다룰 것으로 Heine-Borel 정리라고 부릅니다.

p.s. 오랜만에 TEX 문법 쓸려니까 헷갈리네요...

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14/12/06 약간 수정(Local Property와 Global Property 부분) 그리고 글 다듬기