중간값 정리(Intermediate Value Theorem)

 지난 포스팅에서 Compact가 최대최소 정리를 증명하는데 쓰였음을 봤죠. 거기서 중요했던게, "continuous image of compact set is compact"라는 것이었습니다. 그러면 Connected는 중간값 정리랑 왠지 관련있을 것 같죠? 그리고 그게 Continuous랑 관련 되면... 이미 다음 명제를 예상하고 있을 겁니다.

명제. Continuous image of Connected set is Connected.

 connected와 관련된 증명은, 그 정의 자체가 부정적으로 증명되기 때문에 귀류법을 많이 쓴다고 했었죠? 여기서도 그런 방식으로 증명할 겁니다. 결론을 부정, 즉 image set이 not connected, 즉 두 개의 논엠티 디스조인트 오픈셋으로 쪼개진다고 가정하고 모순을 이끌어 냅니다. open set과 continuous를 연결시키려면? 증명과정에서 당연히 inverse image of open set is open이 쓰일 것 같죠?

증명) 함수 $f:X\longrightarrow Y$의 image set f(X)를 $f(X) = A\cup B$라 가정하자. 여기서 A와 B는 nonempty disjont open set이다. 그러면 f는 연속이므로 $f^{-1}(A),\ \ f^{-1}(B)$는 open이다. inverse image는 union과 intersection을 보존하므로 $X =f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B), \ \ f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) = \phi$  그러면 이제 nonempty라는 것만 보이면 되는데 A와 B가 각각 nonempty니까 당연히 nonempty. 따라서 X는 not connected.

 inverse image가 합집합과 교집합을 보존한다는 말은

$$ f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A)\cup f^{-1} (B)$$

$$ f^{-1}(A\cap B) = f^{-1}(A)\cap f^{-1} (B)$$

를 의미합니다. 간단히 확인해볼 수 있습니다. 사실 inverse image는 여집합도 보존하며, 그에 반해 image는 합집합은 보존하지만 교집합과 여집합은 한 쪽 포함관계만 성립합니다. 자세한 논의를 하면 집합론이 되어버리므로 생략..

 아무튼 이 명제를 이용하면 이제 중간값 정리를 증명할 수 있습니다. 역시 귀류법으로 증명합니다.

(중간값 정리) 함수 $f:[a, b]\longrightarrow \mathbb{R}$가 연속함수이면 f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 실수 r에 대해 f(c) = r인 c가 (a, b)에 존재한다.

증명) 편의상 f(a) < f(b)임을 가정하자. f(c) = r인 c가 없다고 해보자. 그러면 $(-\infty, r)\cap f([a, b])$과 $(r, \infty)\cap f([a, b])$는 open in f([a, b])이고 f(a)와 f(b)를 각각 포함하므로 nomempty이고, disjoint인건 당연하다. 따라서 f([a, b])는 not connected인데, 앞에 명제에 의해 모순.

 중간값 정리를 이용한 대표적인 application은 고정점 정리(Fixed Point Theorem)가 있습니다. 고정점 이란 것은, 함수값이 여전히 그 변수와 같은 즉, f(x) = x인 x를 말합니다. 

(고정점 정리) 연속함수 $f:[a, b]\longrightarrow [a, b]$는 고정점이 있다. 즉 $f(x) = x$가 되는 점 $x$가 $[a, b]$에 존재한다.

증명) f(a) = a 이거나 f(b) = b면 증명할 게 없다. 따라서 아니라고 하면 함수 g(x) = f(x) - x는 연속함수의 성질에 의해 역시 연속이고, g(a) > 0, g(b) < 0이므로 중간값 정리에 의해 g(c) = 0인 c가 (a, b)에 존재한다. 따라서 f(c) = c인 c가 (a, b)에 존재한다.

 중간값 정리에서 연속인 조건과 정의역이 Connected인 조건은 꼭 필요합니다. 연속인 조건을 뺐을 때 반례와 정의역이 not connected일 때 반례는 직관적으로 쉽게 그림을 그려봐서 생각할 수 있으므로 생략하도록 하겠습니다. 아무튼 이것으로 포스팅 짧게 마칩니다. 다음 포스팅은 고른 연속(Uniform Continuity)에 대한 내용입니다.