Compact Set On Euclidean Space

 지난 포스팅에서 닫힌 구간을 눈 여겨 봤습니다. 그럼 이제 실제로 그게 Compact인지를 확인해봐야 하는데, 이걸 닫힌 구간에서만 한정시키지 말고 평면 혹은 공간, 더 확장시켜서 k차원 공간에 대해서 이야기 할 수 있습니다. 이 k차원 공간을 흔히 유클리드 공간이라 부르고 칠판볼드체를 써서 $\mathbb{R}^k$로 씁니다. 이번 포스팅에서 할 얘기는 다음 하나의 Statement입니다.

정리. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 부분집합 K에 대해 다음은 동치다.

(1) K is closed & bounded

(2) K is compact

(3) Every infinite subset of K has a limit point in K.

'동치'라고 하는 것은 "p이면 q이다" 꼴의 명제가 참이고 역도 참이면 p와 q가 동치라고 말합니다. 그러니까 p나 q나 같은 말이라는 것이죠. 위 정리는 세 개가 동치라고 말하고 있으므로 결론적으로 (1)이 성립하면 (2), (3)이 성립한다. (2)가 성립하면 (1),(3)이 성립한다. (3)이 성립하면 (1),(2)가 성립한다. 즉 6개나 되는 명제가 참이라고 얘기하고 있습니다! 그런데 논리적으로 따져보면

(1) $\Longrightarrow$ (2) $\Longrightarrow $ (3) $\Longrightarrow $ (1)

만 증명하면 6개 모두 성립합을 알 수 있습니다. 이 포스팅에서는 그렇게 한 번 따라가보도록 하겠습니다. 먼저 (1) $\Rightarrow$ (2) 부터 볼까요? 이걸 증명하기 위에서는 다음과 같은 보조정리가 필요합니다.

(축소구간정리)  실수체 $R$ 위의 닫힌 구간열 $\{I_n\}$이 

$$I_n\supset I_{n+1}\ \ (n = 1, 2, \ldots )$$

을 만족하면 교집합 $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ 는 비어있지 않다.

증명) $I_n$이 닫힌 구간이니까 $I_n = [a_n, b_n]$으로 놓을 수 있습니다. 그러면 집합 

$$E = \{a_n\mid n = 1, 2, \ldots\}$$

의 모든 원소는 b1보다도 작기 때문에 위로 유계인 집합입니다. 그래서 상한(least upper bound)을 x라 하면, x가 상계니까 $a_n \le x$ 인 것은 당연하죠. 그러면 자연수 n, m에 대해서 다음과 같은 부등식으로부터

$$ a_n \le a_{n+m} \le b_{n+m} \le b_m $$

$b_{n+m}$이 E의 상계(upper bound)라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 $b_m$은 상계 이상이니까 상한보다도 크거나 같습니다.  즉, $x \le b_m$ 이 성립합니다. 따라서 x는 모든 n에 대해서 $a_n \le x \le b_n $ 이므로 항상 구간 $I_n$에 들어있습니다. 따라서 x는 교집합 안에 들어있습니다.

 정리 자체는 직관적으로 이해할 수 있을만큼 간단하죠? 중요한 것은 증명 과정에서 우리가 실수의 완비성 공리(Least upper bound property)를 사용했다는 것입니다. 마찬가지로 $\mathbb{R}^k$ 버전의 축소구간 정리도 증명할 수 있습니다. 이걸 이용해서 (1) -> (2) 로 가는 것을 증명하게 됩니다. 먼저 우리는 k차원 rectangle이 compact임을 증명할 것입니다. k차원 rectangle이란 대략 다음과 같은

$$[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\ldots\times[a_k,b_k]$$

것을 의미합니다. 그러니까 1차원에선 선분, 2차원에선 직사각형, 3차원에선 직육면체가 되겠죠. 이 k차원 rectangle을 $Q_0$라 합시다. 그럼 compact라는 것을 보이기 위해서는 정의를 다시 remind 해보면, 임의의 open cover가 있을 때 finite subcover를 찾아야 합니다. 그런데 사실 compact에 대해서 아는 것도 없고 막막하죠... 이럴 땐 귀류법을 사용해 봅시다. 그러니까 $Q_0$를 덮는 open cover $\{V_{\alpha}\}$가 있는데 얘는 유한 개만 뽑으면 $Q_0$을 못 덮는 다고 가정하자는 것이죠.

 여기서부터가 증명의 핵심입니다. $Q_0$을 정확하게 각 변의 길이가 절반이 되게 자릅니다. 그럼 $2^k$개의 rectangle 조각이 생깁니다. 여기서 $2^k$개의 조각들 중 적어도 하나는 유한 개의 $\{V_{\alpha}\}$ 들로 덮을 수 없습니다. (만약 전부 다 유한 개로 덮을 수 있으면 그것 들을 전부 다해도 유한 개니까 가정한 것에 모순이 되겠죠?) 그래서 그 조각을 $Q_1$이라 합시다. 이제 이걸 또 $2^k$개로 자르고 그러면 또 유한 개로 못 덮는 조각이 있으니까 그걸 $Q_2$로 하고 계속 반복합시다. 그러면 우리는 

  다음과 같은 rectangle들의 열을 얻게 됩니다.

(i) $Q_0 \supset Q_1 \supset Q_2 \supset ... $

(ii) $Q_n$은 유한개의 $V_{\alpha}$들로 덮을 수 없다.

 자 그런데 앞서 증명한 축소 구간 정리에 의해서 모든 $Q_n$에 속하는 점이 있습니다. 유한 개 있을수도 있고 무한히 많을수도 있고 딱 한 개 있을수도 있지만 어쨌든 하나는 있습니다. 그 점을 X라 합시다. 그런데 $\{V_{\alpha}\}$가 뭐였죠? 바로 $Q_0$의 open cover였습니다. 그러니까 점 X는 $V_{\alpha}$ 중에 어떤 거에는 들어가겠죠 그걸 $V_{\beta}$라 합시다. (위 그림 참고)

 그러면 $V_{\beta}$ 가 open set이니까 정의에 의해서 X의 근방을 잡는데 $V_{\beta}$안에 들어가게 할 수 있습니다. 한편, n을 충분히 크게 잡으면 $Q_n$이 크기가 너무 작아서 X의 근방안에 쏙 들어가겠죠. 이제 모순이 발생했습니다. 분명히 $Q_n$은 유한개로 덮을 수 없도록 잡았는데, $V_{\beta}$ 단 하나로만 덮어버렸습니다! 그러니까 우리의 가정이 잘못됬고 결론적으로 $Q_0$가 compact가 됩니다.

 이제 특수한 closed bounded set인 k차원 rectangle은 compact인 걸 알았습니다. 마지막으로, "compact set의 closed subset이 compact" 라는 것을 증명하면 끝이 납니다. 왜냐면 bounded 되어 있으니까 k-rectangle 안에 집어 넣을 수 있고 closed라는 것으로부터 compact라는 것을 얻어낼 수 있죠. 이것은 compact의 정의를 잘 써서 증명할 수 있는데 여기서는 생략하도록 하겠습니다. 해석학 책을 참고해주세요.

 (2) => (3) 은 compact의 정의를 써서 귀류법을 사용하면 쉽게 증명할 수 있고, (3) => (1)은 bounded나 closed가 아니라고 가정하고 삼각부등식을 적절히 쓰면 역시 귀류법으로 증명할 수 있습니다. 자세한 증명은 해석학 책을 참고해주세요.

(사실 모든 정리를 증명하는게 귀찮습니다..ㅠㅠ 핵심만 짚고 넘어가려 합니다)

 자 이제 정리를 다시 한 번 살펴 봅시다. (3)은 옛날 수학자들이 생각하던 compact의 정의였습니다. 그래서 compact를 그렇게 정의를 했었고, 19세기(?) 까지만 하더라도 compact라고 하면 (3)을 의미했습니다. 그래서 19세기 사람들은 (1) -> (3) 으로 가는 과정이 닫힌 구간이 compact임을 증명하게 되는 셈이지요. 그래서 여기에는 수학자 이름이 붙어 있는데 Bolzano - Weierstrass 정리라고 합니다. 그런데 20세기 들어서면서 metric space가 아닌 다른 곳에서도 잘 working하는 새로운 compact 정의가 바로 (2)라고 말했었죠... 그래서 (1)에서 (2)로 증명하는 과정은 20세기 수학자의 이름이 붙어있는데 이를 Heine - Borel 정리라고 합니다. 유클리드 공간에서는 하나를 증명하면 하나는 다른 루트로 돌아가면 유도되기 때문에 아마 해석학을 처음 접하는 사람들은 왜 비슷한 방법을 쓰는 정리에, 혹은 따름정리로 유도되는 것에 왜 둘 다 사람 이름이 붙어 있을까 의아해 하실겁니다... Rudin책에는 Heine Borel 정리를 증명하고 따름정리로 Weierstrass 정리가 나오고, 흔히 김김계 책이라고 불리는 해석개론 책에는 Bolzano - Weierstrass 정리가 먼저 나오고 뒤에 Heine Borel 정리가 나옵니다. 그래도 그 두 정리의 증명 방식, 즉 사각형을 절반으로 계속 분할하는 metohd는 실수의 완비성 공리로 부터 유도된 축소구간정리를 내포하고 있다는 것이지요.

유클리드 공간에서는 위 세 개가 모두 동치이지만, 좀 더 일반적인 Metric Space에 대해서는 (1)에서 (2)로 갈 수가 없습니다. 그에 대한 반례는 만~~~약에 포스팅하게 된다면 연속함수공간에 대해 얘기할 때 다뤄보도록 하겠습니다. 또 한편, 임의의 Metric space에 대해서 (2)와 (3)은 동치입니다. (2) => (3)으로 가는 것은 포스팅에서도 다루었듯이 간단하지만, (3) => (2) 로 가는건 쉽지 않습니다(위상수학적 접근이 필요합니다). 그러니까, (1) => (3)으로 가는 것과 (2) => (1)로 가는 것은 훌륭한 연습문제가 되겠네요.

이만 포스팅을 마치고 다음 번엔 닫힌 구간의 또다른 성질인 Connectedness에 대해서 다뤄보겠습니다.