Fleche's Life

수학에서는 우리가 알고 있는 수 체계들―예를 들어 정수나 유리수 및 실수―을 추상화시켜서 나타냅니다. 이렇게 추상화 시켜서 나타낸 집합들이 어떤 특정한 성질들을 가지고 다루는 학문이 대수학이 되겠지요. 그리고 그 추상화시켜서 나타낸 대수적 구조(algebric structrue)에는 군(group), 환(ring), 체(field), 벡터공간(vetor space) 등등이 있습니다. 그 중에서도, 유리수나 실수를 추상화 시켜서 나타낸 대수적 구조를 체(Field)라고 합니다. 저번 포스팅에서 '실수 = 완비순서체'라고 언급했는데, '체'에 해당하는 게 바로 Field입니다. Field는 집합과 거기서 정의된 두 연산을 가지고 정의합니다. 이 두 연산을 덧셈(addition), 곱셈(multiplicati..

해석학은 실수의 성질을 다루는 것에서 출발합니다! 실수는 한마디로 '완비순서체'라고도 합니다. 유리수와 가장 큰 차이점이 바로 이 '완비성(completeness)'이라고 하는 것인데요. 이 완비성은 여러 가지로 표현이 됩니다. 가장 와닿는 말로는 '빈틈이 없다'는 것이죠. 중학교 때 처음 실수를 접할 때, 가장 쉬운 예로 제곱해서 2가 되는 수 등을 들죠. 유리수는 비록 완전한 하나의 쳬계를 갖추고 있지만, 위와 같이 2의 제곱근, pi나 e와 같은 무리수 등 말이죠. 그래서 이 갭을 채우기 위해 유리수로부터 이끌어낸(construct) 새로운 수의 체계를 실수(real number)라고 합니다. 그래서 실수의 여러 가지 성질들을 이야기하기 위해서는 순서(order)라는 개념이 필요합니다. 순서는 어떤..