극한의 성질

극한의 성질에 대해 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. 해석학에서 입실론-델타 논증을 이용해 명제를 증명하는 것으로는 첫 번째가 될텐데 어떤 식으로 진행되는지 한 번 보시기 바랍니다. 우리의 목표는 차이를 입실론보다 작게 하는 것임을 잊지 않으시면 됩니다.

 다음 명제는 너무나 당연해 보이지만 꼭 확인해봐야 할 명제입니다. 항상 어떤 수학적 Object가 나오면 이게 존재하는가, 유일한가를 따져보는 것이 좋습니다.

명제. Metric Space X 위에서 정의된 함수 f가 점 p에서 극한을 가진다고 하자. 그러면 극한은 유일하다.

증명) 유일성에 관한 증명을 할 때는, 주어진 Property를 만족하는 게 두 개가 있다고 가정하고 둘이 같다고 하면 됩니다. 다시 말해서, f가 p에서 극한값 A를 갖고 f가 p에서 극한값 B를 갖는다고 하자. 그러면 입실론-델타 논증을 쓰면 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 양수 $\delta_1>0$과 $\delta_2>0$가 존재하여

$$x\in X,\ \ 0<d(x, p) <\delta_1\ \ \Longrightarrow\ \ d( f(x), A)<\epsilon/2$$

$$x\in X,\ \ 0<d(x, p) <\delta_2\ \ \Longrightarrow\ \ d( f(x), B)<\epsilon/2$$

이다. 따라서 $\delta = \min(\delta_1,\delta_2)$라 하면, 삼각부등식에 의해

$$x\in X,\ \ 0<d(x, p)<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ d(A, B)\le d(A, f(x)) + d(f(x), B) <\epsilon.$$

$\epsilon$이 arbitrary 이므로 d(A, B) = 0. 따라서 A=B.

 이 명제를 바탕으로 우리는 함수가 어떤 점에서 극한값을 갖는다고 하면 딱 한개만 가진다고 말할 수 있게 되는 것이죠.

 증명에 대해 세 가지 정도 Comment를 하자면, (1) 여기서 'arbitrary'라는 말은 '임의의' 라는 뜻으로 아무렇게나 잡았다는 뜻입니다. 어떤 0이상인 실수값(e.g.거리, 길이, 절댓값 등)이 아무렇게나 잡은 양수 보다도 작으면 그 말은 그 값이 곧 0이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 이건 자주 사용됩니다. (2) 그리고 위에서 처음에 A와 B에 대한 델타를 잡을 때, 두 델타는 일반적으로는 다르기 때문에 반드시 다르게 잡아야 한다. 그러니까 같은 입실론이라고 하더라도, 함수값이 A 근처에서 완만하게 변하면 델타를 느슨하게 잡아도 되는데, A 근처에서 미친듯이 크게 변하면 델타를 엄청 작게 잡아야 되겠죠. 그래서 일반적으로는 두 델타는 다릅니다. 그런데 그 두 개중 작은 값으로 델타를 잡으면, 결국 d(x, p)가 둘 중 작은 값 보다도 작으니까 큰 값 보다도 작죠. 그래서 우리가 얻은 처음 두 부등식을 모두 적용할 수 있게 됩니다. (3) 처음에 부등식에서, 차이를 (입실론 / 2) 로 잡은 것은 final 결과를 입실론으로 맞춰주기 위해서 그렇게 잡은 것입니다. 이게 가능한 이유는 (입실론 / 2)도 결국 양수니까, 극한이 존재한다는 말은 양수를 아무렇게나 줘도 델타가 존재한다는 말이니까 위에서 결국 델타1과 델타2는 차이가 (입실론 / 2 )보다 작게 하는 그런 델타를 잡은 것입니다.

 이걸 바탕으로 극한의 아주 기본적인 성질. 고등학교 때 혹은 Calculus 시간에 증명없이 써먹었던 "덧셈, 상수배, 곱셈, 나눗셈에 대한 극한은 각각의 극한을 더하고 상수배하고 곱셈하고 나눈거와 같다"는 걸 같은 방식으로 증명해봅시다. 여기서도 우리가 해야 할 일은 차이를 입실론보다 작게 하는 것입니다.

 아 참고로, 특별히 명시하지 않으면 극한값을 가진다는 것은 finite value를 가질 때(무한대를 제외하자는 소리)를 의미합니다.

명제. Complex-Valued Function f, g와 복소수 상수 c가 있다. f가 점 p에서 극한값이 A이고, g가 점 p에서 극한값이 B면

f + g, cf, fg, f/g의 극한값은 존재하고, 뿐만 아니라 그 값은

(1) $\lim_{x\rightarrow p}(f+g)(x)=A+B$

(2) $\lim_{x\rightarrow p}(cf)(x)=cA$

(3) $\lim_{x\rightarrow p}(fg)(x)=AB$

(4) $\lim_{x\rightarrow p}(f/g)(x)=\frac{A}{B}$ 단, $B\neq0$일 때.

 더하기나 곱하기가 정의 되려면 당연히 우리는 Field 상에서 생각해야 겠죠? 그래서 복소수 함수라고 가정을 했습니다. 복소수가 싫으시면 실수로 놓으셔도 증명은 같기 때문에 상관이 없습니다. 증명이 우리에게 말해 주는 것은 일단 극한값의 존재성을 얘기해주고 거기에다가 그 값 까지 알려준다는 것이죠. 

(1에 대한 생각) 1번을 증명하고 싶다. 그러면 우리는 다음과 같은 차이

$$|f(x)+g(x) - (A + B)|\tag{a}$$

를 입실론보다 작게 하고 싶다. 우리가 아는 것은 |f(x) - A|와 |g(x) - B|가 엄청 작다는 것이다. 그러면 이 값들로 위의 차이를 보기 위해서 삼각부등식을 쓰면

$$|f(x)+g(x) - (A + B)|\le|f(x)-A| + |g(x)-B|$$

이므로 각각을 입실론 / 2 보다 작게하면 될 거 같다.

(1에 대한 증명) 임의의 양수 $\epsilon$에 대해 양수 $\delta_1$과 $\delta_2$가 존재하여, (도메인 상관없이 그냥 쓸게요)

$$0<|x-p|<\delta_1\ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-A|<\epsilon/2$$

$$0<|x-p|<\delta_2\ \ \Longrightarrow\ \ |g(x)-B|<\epsilon/2$$

이다. 따라서 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$라 하면 위 (생각)에 의해 $0<|x-p|<\delta$이면 (a)는 입실론보다 작다.

(3에 대한 생각) 우리는 자연스럽게

$$|f(x)g(x)-AB|$$

를 입실론보다 작게 만들고 싶다. 우리가 아는 건 |f(x) - A|와 |g(x) - B|. 삼각부등식을 쓸려면? 적절하게 f(x)B(혹은 g(x)A)를 끼워넣어보자... 그러면

$$|f(x)g(x)-AB|\le |f(x)||g(x)-B|+|B||f(x)-A|$$

이다. 여기서 |g(x)-B|랑 |f(x)-A|는 ok. |B|도 상수니까 괜찮고.. 어 근데 |f(x)|는?

잠시만 생각해보자. f(x)의 극한값이 A니까, |f(x)|는 |A|로 가까이 갈 거 같다. 그런데 어떻게 그걸 적을 수 있을까??

(3에 대한 증명) 임의의 양수 $\epsilon$에 대해 양수 $\delta_1, \delta_2, \delta_3$가 각각 존재하여,

$$0<|x-p|<\delta_1\ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-A|<1$$

$$0<|x-p|<\delta_2\ \ \Longrightarrow\ \ |f(x)-A|<\frac{\epsilon}{2(1+|B|)}\tag{b}$$

$$0<|x-p|<\delta_3\ \ \Longrightarrow\ \ |g(x)-B|<\frac{\epsilon}{2(1+|A|)}$$

이다. 따라서 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)$라 하면 $0<|x-p|<\delta$이면

\begin{align} |f(x)g(x)-AB| &\le |f(x)||g(x)-B|+|B||f(x)-A|\\ &<(1+|A|)\frac{\epsilon}{2(1+|A|)}+|B|\frac{\epsilon}{2(1+|B|)}\\ &\le \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \end{align}

이다.

3에 증명을 잠깐 살펴봅시다. f(x)를 저렇게 잡으면 |f(x)|<1+|A| 가 돼서 |A|를 이용해서 |f(x)|값을 estimate할 수 있습니다. 또 눈에 띄는 점은 (b)식의 분모를 2|B|로 안하고 2(1+|B|)로 잡아줬다는 점인데. 이는, B=0일 경우 0으로 나누는 이상한 식이 되는 것을 미리 방지하는 것입니다. 그렇게 하지 않으면 B가 0일 때와 0이 아닐 때 두 가지 케이스로 나눠줘야 해서 귀찮습니다. 수학자는 흔히 반복을 싫어한다고 하죠.

 4번도 마찬가지로 증명할 수 있는데, 비슷한 방법으로 생각을 해보면 분모에 들어가있는 |g(x)|를 어떻게 해줘야 합니다. 이 경우도 |g(x)-B|의 bound를 잘 잡아서 해결할 수 있습니다. 키 포인트는 B가 0이 아니라는 조건이 들어 있습니다.

 네.. 뭐 해석학의 대략적인 증명들은 이런식입니다. 우리가 알고 있는 부등식을 잘 조합시켜서 차이를 입실론보다 작게 하면 됩니다. 그 외에 또 여러 가지 특이한 증명 방법들이 있는데, 그건 뒤에 나오면 다시 살펴보도록 합시다. 글이 생각보다 길어졌네요. 아, 참 저기서 p가 무한인 경우 혹은 A나 B가 무한인 경우 식이 그대로 성립할 지 한 번 살펴보는 것도 좋겠죠. 식이 성립하지 않는다면, (무한대로 가정했을 때) 우리의 증명에서 어느 부분에서 처음으로 논리적 오류가 생기는지 체크해볼 수 있을겁니다.

p.s. 수식 때문에 한참 고생했네요 ㅎㅎ...