Connectedness

 이번 포스팅에서는 '연결성'이라는 개념에 대해서 알아보겠습니다. 컴팩트에 비해서는 직관적으로 이해하기 쉽습니다. 말 그대로 집합이 중간에 끊어지지 않고 (원소가 없지 않고) 연결되어 있다는 뜻이죠. 수학적으로 엄밀한 정의는

정의. A seperation of E is [a pair A, B of disjont nonempty open subsets of E whose union is E]. E is connected if there is no seperation of E.

한글로 쓸려다가 포기.. 영어로는 딱 한 문장 만에 써지는데. 아무튼 Connected는 특이하게도 어떤 특정한 성질을 만족하지 않을 때 정의합니다. 꼭 1 또는 자기 자신 이외에 약수를 가지지 않으면 소수라고 정의하는 것과 비슷하게 말이죠. 그래서 증명도 보통 귀류법 혹은 이(negation)로 증명합니다. 저 []부분을 다시 써보면

$$ A \neq \phi,  B\neq\phi,  A\cap B=\phi,  A\cup B=E$$

그리고 A, B는 열린집합. A, B가 E의 열린집합이라는 것은 빼먹으면 안됩니다. 왜냐하면 구간 $E = [0, 1]$은 연결되어 있다고 말하고 싶은데 $A = [0, \frac{1}{2}), B = [\frac{1}{2}, 1]$이라 두면 위 네 가지를 전부 만족하는데 대신 B가 E의 열린집합이 아니죠. 

 닫힌 구간이 가지는 성질 중 하나가 지난번에 증명한 Compact였습니다. 그걸 증명하는 데 축소구간정리, 결론적으로는 완비성공리가 쓰였죠. 이번에는 실수가 가지는 성질 중에 또다른 하나인 a < b 이면 a, b 사이에 또다른 실수가 존재한다. 는 성질을 쓰게 됩니다. 특히 실수의 부분집합 중에서 구간 (열린 구간이든 닫힌 구간이든 반만 열린 구간이든 무한대 까지 가는 구간이든) 이 이런 성질을 가지고 있음을 쉽게 알 수 있습니다.

 정리. $ E \subset \mathbb{R}$ is Interval if and only if E is Connected.

자 이걸 다시 쓰면 구간의 성질에 따라서

정리. 실수의 부분집합 E에 대해 (1)과 (2)는 동치다. 

(1) $a\in E, b\in E, a<c<b$ 이면 $c\in E$이다.

(2) E is Connected.

가 됩니다. 앞서 언급했듯이 connected는 어떤 성질을 만족하지 않는 집합이므로 그대로 증명하기 보다는 이(negation)을 취한 다음 명제

정리. E는 실수 부분집합일 때 (1)과 (2)는 동치

(1) $a\in E, b\in E, a<c<b$ 이지만, $c\not\in E$인 c가 존재한다.

(2) 다음을 만족하는 E의 열린집합 A, B가 존재한다.

$$ A \neq \phi, B\neq\phi, A\cap B=\phi, A\cup B=E$$

가 됩니다. 결국 (1)은 E가 구간이 아니라는 소리고, (2)는 연결되어 있지 않다는 소리죠. 증명해봅시다. (1)에서 (2)로 가는건 어렵지 않습니다. E에 들어가지 않는 c가 존재하니까 

$$A=E\cap (-\infty, c), B=E\cap (c, \infty)$$

라고 잡으면 우리가 잡은 A, B가 바로 (2)를 만족한다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

 이제 반대쪽 증명을 봅시다. (2)에서 가정한 것들이 증명과정 언제 쓰이는지 한 번 살펴보세요. 저것을 만족하는 A, B가 있다고 하고 A에서 a를 잡고, B에서 b를 잡아봅시다. 그러면 일반성을 잃지 않고 (멋있는(?) 말로 Without Loss Of Generality, 약자로 WLOG) a < b라고 가정할 수 있습니다. 자 그림으로 보면 다음과 같은 상황입니다.

저번에 그림이 글자가 작아서 이번엔 크기를 좀 키워봤습니다. 암튼 이제 우리가 원하는 것은 a하고 b사이에 점들 중에 E에 안들어 가 있는 c를 잡고싶은 겁니다. 특별히

$$c=\sup(A\cap [a, b])$$

를 잡아봅시다. 그러면

 저기 있는 c를 잡은게 되겠죠? 이제 그러면 c가 A와 B에 들어 있지 않다는 것을 보이면 증명이 끝납니다(왜 그렇죠?). 우리는 상한을 잡으면 늘상 하듯이 모순을 이끌어 내면 됩니다. 그러면 c가 A에 들어있다고 합시다. 뭐에 모순이 될까요? c가 A에 들어있으니까 살짝 큰 놈을 잡을 수 있고 c가 upper bound라는 것에 모순이 됩니다. 마찬가지로 c가 B에 들어 가있다고 하면 c보다 살짝 작은 놈을 잡으면 얘는 b에 들어가있는데 c가 sup이니까 $A\cap [a,b]$에도 들어가있으니까 A와 B가 공집합이라는 데에 모순이 됩니다.

 결국 실수에서 Interval = connected 임을 알 수 있습니다. 우리가 사용한 성질은 두 실수 사이에 또다른 실수가 있다는 것이지요. 그리고 compact임을 보일 때 사용한 것은 완비성 공리, 즉 sup이 있다는 것입니다. 결국 요 두 개 성질이 중요하단건데 그래서 특별히 순서가 주어진 공간에서 이 두 성질

(1) x<y 이면 x<z 이고 z<y인 원소 z가 있다.

(2) 위로 유계인 집합은 Least upper bound가 있다.

을 갖는 공간을 따로 Linear Continuum이라고 부르기도 합니다.

 자 지금까지 한 것은 실수가 어떤 특별한 성질을 갖길래, 또 그 중에서도 닫힌 구간은 어떤 특별한 성질을 갖길래 여러 가지 좋은 성질과 정리들을 얻어낼 수 있을까 하고 물어보면서 그런 특별한 성질들을 살펴본 것 입니다. 아직 극한은 나오지도 않았죠? 이제 이런 좋은 성질들을 갖고 좋은 함수에 결부시켜서 어떤 결과를 얻을 수 있는지 다음 포스팅부터 알아봅시다.