최대최소 정리(Extreme Value Theorem)

 예고한 대로 이번 포스팅에서는 최대최소 정리(extreme value theorem)를 증명해보도록 하겠습니다.

(최대최소 정리) 함수 $f:X\longrightarrow\mathbb{R}$가 compact set X에서 연속이라고 하자. 그러면 함수 $f$는 최댓값과 최솟값을 갖는다. 명시적으로 말하면,

$$ M = \sup_{x\in X}f(x),\ \ m = \inf_{x\in X}f(x) \tag{1}$$

라 하면, $f(p) = M,\ \ f(q) = m$인 점 p, q가 X에 존재한다.

 식 (1)에서 상한과 하한의 의미는 아랫첨자에 해당하는 것에 대한 오른쪽 값의 집합

$$\sup\{f(x)|x\in X\}, \ \ \inf\{f(x)|x\in X\} $$

을 의미하며 이런 표현은 앞으로 자주 등장합니다. 우리는 Heine-Borel 정리로부터 유계 닫힌 구간 [a, b]가 compact임을 이미 알고 있습니다. 따라서 X를 [a, b]로 바꾸면 고등학교 혹은 Calculus 시간에 배운 형태의 최대최소 정리를 얻을 수 있습니다. 이를 증명하기 위해서 먼저 다음의 명제를 살펴봅시다.

명제 1. Compact Metric space X 위에서 정의된 함수 f가 X에서 연속이면 함수 f에 의한 X의 image f(X)는 compact이다.

 간단히 말하면, "연속함수에 의한 compact set의 image는 compact"라고 할 수 있습니다. 이걸 어떤 식으로 증명할까요? 사실 답은 하나죠. compact set의 정의를 생각해보면 정의에 등장하는 인물들은 open set인데, 연속함수와 open을 연결시킬 수 있는 것은? 바로 지난 포스팅에서 증명했던 "open set의 inverse image는 open이다"는 사실을 이용하면 됩니다. codomain space에 있는 open cover를 domain space로 옮겨서 X의 compactness를 쓰면, finite subcover를 잡을 수 있고 그걸 다시 codomain space로 옮기면 됩니다.

증명) f(X)의 임의의 open cover $\{V_\alpha\}$를 잡자. 그러면 f는 연속이므로 $\{f^{-1}(V_\alpha)\}$는 X의 open cover이다. X가 compact이므로 finite subcover $f^{-1}(V_1), f^{-1}(V_2), \cdots, f^{-1}(V_n)$이 존재한다. 따라서

$$X\subset  f^{-1}(V_1)\cup f^{-1}(V_2)\cup\cdots\cup f^{-1}(V_n)$$

이다. 임의의 집합 B에 대해 $f(f^{-1}(B))\subset B$라는 사실을 이용하면

$$f(X)\subset V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_n$$

이다. f(X)가 finite subcover $\{V_k\}_{k=1}^{n}$를 가지므로 f(X)는 compact.

 위에서 f가 아무런 함수이고 B가 공역의 부분집합일 경우 $f(f^{-1}(B))\subset B$ 라는 사실을 이용했는데, 이는 image와 inverse image의 정의를 잘 생각하면 금방 알 수 있습니다. 등호는 성립하지 않는데 B가 f의 치역을 벗어나는 점을 하나라도 포함하고 있을 경우 그렇습니다. 즉 f가 치역이 공역과 일치하는 함수(surjective)일 경우 등호가 성립합니다. 한편, 연산의 순서를 바꾸면 포함관계가 뒤집힙니다. A가 정의역의 부분집합일 경우 $f^{-1}(f(A))\supset A$. 등호가 성립하지 않는 case는 A의 원소 중 어느 두 개라도 같은 함숫값을 가질 경우이며 f가 일대일 함수(injective)일 경우 등호가 성립합니다.

 그러면 Compact set은 유계(bounded)이므로 함숫값들이 유계라는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 실수의 완비성을 이용하면 상한과 하한이 존재하는 사실을 얻습니다. 이제 상한과 하한이 f(X)에 들어가 주면 되는데, Compact Set은 또 닫힌 집합(closed)입니다. 따라서 상한과 하한이 들어간.... 다는 사실을 한 번도 확인을 안 했었네요.

명제 2. 실수의 부분집합 A가 위로(아래로) 유계이고, $\alpha = \sup A(\inf A)$라 하자. A가 closed이면 $\alpha \in A$이다.

증명) 상한에 대해서만 증명하자. A가 closed set이므로 알파가 A의 limit point라는 사실만 보이면 된다. 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해 $\alpha - \epsilon < x $ 인 $x\in A$가 존재한다. -만약 존재하지 않으면 (알파 - 입실론)이 상계가 되므로 알파가 상한임에 모순이다.- 따라서 $\alpha - x<\epsilon$을 얻고 임의의 양수 입실론에 대해 부등식이 성립하므로 알파는 A의 limit point다.

최대최소 정리의 증명) 명제 1에 의해 f(X)는 compact이고 그러니까 유계이다. 따라서 상한 M과 하한 m이 존재한다. 한편, f(X)은 닫힌 집합이므로 명제 2에 의해 M과 m은 f(X)에 들어간다.

 이제 우리의 Basic Goal에 한 발짝 다가섰습니다. 이제 최대최소 정리를 증명했으므로 이로부터 평균값 정리를 증명할 것입니다. 최대최소 정리 증명에 사용된 철학은 "Continuous Image of Compact is Compact"임을 잊지 마세요. 분명히 증명 과정에서 closed와 bounded 둘 다 사용되었습니다. 정리에서 조건을 하나씩 제거했을 때 일어나는 반례들을 살펴보는 것으로 포스팅을 마치겠습니다.

Example 1. 함수 f가 $(0, 1]$에서 정의되어 있는 실함수 이고 $f(x)=\frac{1}{x}$이면 f는 연속함수이고 정의역이 유계이지만, 최댓값을 갖지 않는다.

Example 2. 함수 f가 $[0, \infty )$에서 정의된 실함수 이고 $f(x)=x$라 하면 f는 연속함수이고 정의역이 닫힌 집합이지만, 최댓값을 갖지 않는다.

Example 3. 다음의 유계닫힌구간 [a, b]에서 정의된 함수 f는 c 이외의 모든 점에서 연속이다. 그러나 최솟값을 갖지 않는다.