Metric Space

 이번 포스팅에서는 거리공간(Metric space)의 개념과 거리공간 위에서의 열림(open), 닫힘(closed) 등에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 거리공간이라는 개념은, 먼저 해석학의 원류라 할 수 있는 미적분을 어떻게 엄밀하게 잘 정의할 수 있을까 하는 생각에서 출발했습니다. 미분과 적분이 잘 정의되기 위해서는 극한이라는 개념이 엄밀하게 정의되어야 하고, 그러기 위해서 흔히 말하는 epsilon-delta법을 사용하죠. 그러기 위해서는 '두 점 사이의 거리'라는 개념이 잘 정의되어야 합니다.

$$|p_n - p| < \varepsilon$$

에서 절댓값에 해당하는 부분이 바로 두 점 사이의 거리에 해당합니다. 물론 이는 실수 집합 혹은 유클리드 공간에서 정의가 되겠죠. 이것을 더욱 추상화 또는 일반화시킨 것이 거리공간의 개념이고, 굳이 유클리드 공간이 아니더라도 다음 성질을 만족하도록 '거리(Metric)'를 주면 다른 공간에서도 우리가 원하는 그런 극한과 같은 개념들이 다 잘 성립하더라는 것입니다.

1 ) $d(x, y) > 0$ if $x \not = y$

2 ) $d(x, y) = d(y, x)$

3 ) $d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)$

이와 같이 Metric이 위의 성질들을 만족하고 임의의 X의 원소 x, y, z에 대해 위의 성질들이 성립하면 X를 거리공간―정확하게는 (X, d)를―이라고 합니다. 즉, Metric은 덧셈이나 곱셈과 같이, X와 X의 곱집합에서 실수로 가는 함수입니다. 집합과 이러한 성질을 만족하는 함수를 묶에서 거리공간이라고 하는 것이죠.

 위의 성질들은 우리가 흔히 알고 있는 유클리드 공간 $R^k$에서, 거리를 $d(x, y)=|{\bf x} - {\bf y}|$로 정의했을 때 자연스럽게 성립하는 성질들입니다. 특히 위 3번은 삼각부등식(triangle inequality)으로, 거리공간의 특징을 가장 대표적으로 나타내주는 중요한 성질입니다―증명과정에서 자주 써먹습니다― 

 이제, 거리공간에서 중요하게 다루는 여러 가지 개념들에 대해서 알아보겠습니다. 거리공간에 있는 부분집합―역시 거리공간이 됩니다―의 원소들은 하나의 점(a point)라고 부릅니다. 점 p의 근방(neighborhood)이라고 하는 것은 거리공간 X의 부분집합으로 $d(p, q) < r$ 을 만족하는 모든 점 q를 의미합니다. r을 반경(radius)이라고 합니다. 집합 E의 극한점(limit point of E)이라는 것은 임의의 근방-다시 말해서 r이 임의의 실수-이 자기 자신을 제외한 다른 E의 점을 포함하는 점입니다. 

 즉, 유클리드 공간에서 근방이라는 것은 n차원 ball(원 또는 구)로 이해할 수 있고, 극한점은 집합 E에 달라붙어 있는 점들이죠. 이 극한점은 E에 들어갈수도 있고 안 들어갈수도 있는데, E의 모든 극한점이 E에 들어가면 E를 closed라고 합니다. 한편, open이라는 것은 내점(interior point)으로 정의되는데, 집합 E의 내점이라는 것은 근방을 잘 잡으면 근방이 E에 포함되는 점을 말합니다. E의 점이 모두 내점이면 open이라고 합니다. 이제 open interval과 closed interval의 의미가 감이 오시나요? open interval (a, b)와 closed interval [a, b]는 극한점과 내점이 같습니다. 극한점을 모두 모으면 [a, b]가 되고, 내점을 모두 모으면 (a, b)가 되겠죠. 

 잘보면 극한점과 내점의 개념이 서로 완전히 반대임을 알 수 있습니다. 극한점은 '모든' 근방이 E의 '어떤' point를 가지는 것이고, 내점은 '어떤' 근방의 point가 '모두' E의 point라는 것이죠. 그래서 E의 내점은 E의 여집합의 극한점이 될 수 없고, E의 극한점은 E의 여집합의 내점이 될 수 없습니다. 이를 달리 말하면 E가 open이면 E의 여집합은 closed이고, E가 closed이면 E의 여집합은 open이라는 것이죠.

 한편, 집합이 유계(bounded)라는 것은 어떤 ball안에 집합을 가둘 수 있다는 것을 의미합니다. 이 말은 어떤 반경 R과 점 q가 존재하서 집합 E의 모든 점 p가 $d(p,q)<R$을 만족하는 경우를 의미합니다. 실수(Real line)에서, sup과 개념을 설명할 때 나온 bounded above와 동일합니다.

 자, 이제 우리가 관심가져야 할 것은 뭘까요? 실수에서 closed와 bounded의 성질을 동시에 가지고 있으면 극한점(limit point)가 존재한다는 중요한 성질이 있습니다. 그리고 그 극한점은 바로, 앞으로 배울 수열에서 나올 극한에서 수렴하는 그 점이 됩니다. 즉 closed & bounded 되어 있는 이 집합을 관심있게 볼 것입니다. 이것이 바로 다음 포스팅에서 다룰 Compactness의 개념입니다.