Ordered Field

 수학에서는 우리가 알고 있는 수 체계들―예를 들어 정수나 유리수 및 실수―을 추상화시켜서 나타냅니다. 이렇게 추상화 시켜서 나타낸 집합들이 어떤 특정한 성질들을 가지고 다루는 학문이 대수학이 되겠지요. 그리고 그 추상화시켜서 나타낸 대수적 구조(algebric structrue)에는 군(group), 환(ring), 체(field), 벡터공간(vetor space) 등등이 있습니다. 그 중에서도, 유리수나 실수를 추상화 시켜서 나타낸 대수적 구조를 체(Field)라고 합니다. 저번 포스팅에서 '실수 = 완비순서체'라고 언급했는데, '체'에 해당하는 게 바로 Field입니다.

 Field는 집합과 거기서 정의된 두 연산을 가지고 정의합니다. 이 두 연산을 덧셈(addition), 곱셈(multiplication)이라고 부릅니다. 덧셈과 곱셈에 대해서 각각 닫혀있다(closure), 결합법칙(associativity), 교환법칙(commutativity), 항등원(Identity)의 존재성, 역원(Inverse)의 존재성, 분배법칙(distribution law)이 성립하는 집합을 말합니다. 여기서 덧셈에 대한 항등원은 0으로, 곱셉에 대한 항등원은 1로 씁니다. 물론 1≠0 입니다. (1 = 0 이라면 어떤 문제가 발생할 지 한 번 생각해보는 것도 좋겠죠) 

 위의 성질들은 한 마디로, 우리가 평소에 사용하던 사칙연산을 그대로 사용할 수 있다는 것을 뜻합니다. Field의 친숙한 예로는 유리수가 있습니다. 한편 정수의 경우에는 Field가 되지 않는데, 분수, 즉 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않기 때문이죠.

 이제 이 Field에 순서(order)를 줄 수 있습니다. 이것을 순서체(ordered field)라고 부르고 다음의 두 성질을 만족하는 ordered set으로 정의합니다. 모든 $x,y\in F$에 대해

 1) $x<y$ 이면 모든 $z\in F$ 에 대해 $x+z<y+z$

 2) $x,y>0$ 이면 $xy>0$

이도록 정의합니다. 우리가 이미 가지고 있는 유리수나 실수의 개념과 동일하죠.  위 순서체의 정의는 다른 방법으로도 나타낼 수 있습니다. Field의 부분 집합인 '양수 집합'을 정의하는 방법입니다. 양수 집합안의 임의의 두 원소를 곱해도 양수 집합이 되며, 임의의 원소를 제곱하면 양수 집합안에 들어간다고 정의하는 것이죠. 그리고 곱셈의 항등원에 대한 역원 -1이 양수 집합에 들어가지 않는다고 놓습니다.

 유리수와 실수 모두 순서체가 됩니다. 하지만 앞 포스팅에서 살펴 봤듯이 실수에는 least upper bound property, 완비성이 있다고 했죠. 실수는 완비성을 가진 순서체가 됩니다. 이제 우리가 막연하게 생각하고 있었던 실수에 대한 공리가 모두 완성되었습니다.