ODE : First-order Linear

 이번 포스팅에서는 일계 선형 상미분 방정식(first-order linear ODE)에 대해 다룹니다. 저번 포스팅에서 설명한 것과 같이 미분 방정식에서 y와 그의 도함수들이 x의 함수와의 선형결합으로 이루어져 있으면 선형(linear)라고 부릅니다. 이 때, y가 없는 항(term)이 0이면 동차(homogeneous), 0이 아니면 비동차(nonhomoegeneous)라고 합니다. 일계 상미분 방정식에서는 형태가

$$y'+p(x)y=r(x)$$

와 같고, 이를 표준형(standard form)이라고 부릅니다. 그리고 $r(x)\equiv 0$이면 동차, $r(x)\not \equiv 0$이면 비동차가 되겠죠. $=$이 아니라 $\equiv$ 기호를 사용한 이유는 어떤 점에서 함숫값이 0이라는 뜻이 아니라, 정의된 구간에서 함숫값이 모두 0(identically zero)이라는 뜻입니다.

 먼저 동차의 경우를 볼까요? 일계 동차 미분 방정식은 분리형입니다. r(x) = 0 으로 놓고 위 식을 왼쪽에는 y만 오른쪽에는 x만 오도록 정리하면

$${dy \over y}=-p(x)dx$$

와 같이 됩니다. 이제 양변을 적분하고 exp를 취하면

$$y=c\exp(-\int pdx)$$

가 일반해가 됩니다. 이 식을 미분 방정식에 대입하면 해가 됨을 확인할 수 있습니다.

 비동차의 경우는 조금 복잡합니다. 양변에 적분인자(Integrating Factor)라는 것을 곱해주는데, 이는 x에 의존하는 함수입니다. 이렇게 함으로써 좌변을 하나의 함수의 미분형으로 고쳐주고 우변은 x에 대한 부분만 남게되어 양변을 x에 대해 적분할 수 있게 되는 것입니다. 적분인자를 F(x)라 하면

$$G'=r(x)F(x)$$

와 같이 됩니다. 이렇게 하려면 원래 미분방정식에 F를 곱했을 때의 좌변 $Fy'+Fpy$가 G'이 되어야 합니다. 이러한 형태를 만들어 주기 위해서 곱의 미분법을 생각합니다. G를 F와 y의 곱으로 보는 것이죠. 그렇게 되려면 $Fp = F'$이어야 하고 따라서 F는 (이 미분방정식은 방금 다뤘던 선형 동차 미분방정식입니다.)

$$F=\exp(\int pdx)$$

가 됩니다. Fp가 좌변에 있어서 적분앞에 -가 안 붙었음을 유의하세요. 그러면 이제 $(Fy)' = rF$를 적분해서

$$y={\int rF \over F}$$

와 같이 일반해를 구할 수 있습니다.