ODE : Separation of variables

 공학수학 첫 포스팅으로 상미분 방정식(ordinary differential equations)부터 시작합니다. 이번 포스팅은 그 중 가장 기초인 분리형(separable form)에 대해서 다루어 볼까 합니다.

 상미분 방정식은 독립변수(independent variable)하나를 포함하는 미분 방정식을 의미합니다. 독립변수가 하나이기 때문에, 모든 도함수(derivative)들은 그 독립변수로 미분한 것으로 봅니다. 미분 방정식에서 해를 구한다는 것은 $y'$이나 ${dy\over dx}$와 같은 미분 형태가 없는 꼴로 나타내는 것을 뜻합니다. 미분 방정식은 계수(order)와 선형성(linear), 그리고 선형 미분 방정식은 또, 동차(homogeneous)와 비동차로 구분할 수 있습니다.

 상미분 방정식의 일반적인 형태는

$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$

으로 표시할 수 있습니다. 이 때, 가장 높은 도함수의 계수를 그 미분 방정식의 계수라고 합니다. 또, 특별히 다음과 같이 각 도함수가 독립변수 x의 함수와의 선형결합으로 나타내어진다면

$$h(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i(x)y^{(i)}$$

이를 선형 미분 방정식이라 부릅니다. 비선형 미분 방정식의 경우에는 풀이 방법이 복잡하고 구할 수 없는 경우도 있기 때문에 주로 선형의 경우에 대해 다룹니다. 또한 $h(x)=0$인 경우를 따로 동차 미분 방정식이라고 하며, 0이 아닌 경우는 비동차라고 합니다. 이렇게 나누는 이유는 동차의 경우를 먼저 풀고 그것을 이용해 비동차를 푸는 방식이기 때문입니다.

 가장 처음 다루는 분리형은 이중에서 First-order, 즉 1계 미분 방정식 중에서도 형태가 다음과 같은 경우를 의미합니다.

$$g(y)y'=f(x)$$

 이 식의 특징은 좌변은 y에 대한 항(term)만 있고, 우변은 x에 대한 항만 있습니다. 따라서, 양변을 적분함으로써 해를 간단하게 구할 수 있씁니다. 미적분학에서 배웠던, 치환적분을 사용하면

$$\int g(y)y'dx = \int f(x)dx + c$$

에서 $y'dx={dy\over dx}dx=dy$이므로 양변은 변수 각각에 대한 적분이 됩니다.

$$\int g(y)dy = \int f(x)dx + c $$

 다음 포스팅에서는 일계 상미분 방정식에서 exact form에 대해 설명하겠습니다.