ODE : Exact Differential Eq.

이번 포스팅에서는 일계 상미분 방정식에서, 완전 미분 형식(Exact differential form)을 가지고 있는 경우를 알아보겠습니다. 주로 물리학과 공학에서 이런 전미분(total differential)의 형태가 쓰입니다. 전미분이란, 독립변수 각각에 대하여 연속인 편도함수(partial derivative)를 가지고 있는 함수 $u(x,y)$―두 개의 변수가 아니어도 됩니다만, 편의상 이렇게 썼습니다―에 대해

$$du={\partial u\over\partial x}dx+{\partial u\over\partial y}dy$$

와 같은 꼴을 말합니다. 여기서 $du=0$이면, u가 상수가 됩니다. 그러면 이건 partial이 들어가 있지만 x,y 두개의 변수를 독립변수-종속변수 처럼 취급해서 쓸 수 있기 때문에 상미분 방정식이 됩니다. 즉, x가 독립변수이고 y가 종속변수 이거나, y가 독립변수고 x가 종속변수 인 것처럼 할 수 있다는 것이죠. 그런데 보통 전미분 형태는 x 또는 y에 대해 양함수(explicit) 형태로 나타내어지는 것이 아니라 음함수(implicit) 형태로 나타내어지기 때문에 어느 것이든 괜찮습니다. 그래서 일반적으로 다음과 같은 형태의 상미분 방정식

$$M(x,y)+N(x,y)y'=0$$

은 아래와 같이 다시 쓸 수 있고,

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0    ...    a)$$   

을 완전 미분 방정식이라 부릅니다. 다만, 위와 같이 u의 전미분 형태로 나타날 때만 완전(exactness)이라고 부릅니다. 다시 말해서, M이 어떤 함수 u의 x에 대한 편도함수이고 N이 y에 대한 편도함수이어야 완전이라고 합니다.

 완전성을 확인하는 방법은 u가 $C^2$일 때 = M과 N의 편도함수가 연속일 때, 편미분 교환법칙(commutativity of partial derivatives)로부터 유도됩니다.

$${\partial M\over\partial y}={\partial N\over\partial x}$$

이는 a)가 완전 미분 방정식일 필요충분조건에 해당합니다. 완전 미분 방정식의 해는 M또는 N을 적분하여 얻을 수 있습니다. 가령 M을 적분하면

$$u=\int Mdx + k(y)$$

u가 x와 y에 관한 함수이므로 x로 적분하면 적분상수가 x에 관한 상수함수 = y에만 관한 함수가 됩니다-위 식을 다시 x에 대하여 편미분하면 $M=\partial u/\partial x$임을 확인할 수 있습니다-. k(y)를 결정하기 위해서 u를 y에 대해 편미분하고 함수 N과 비교합니다. 해는 $u(x,y) = c$의 implicit form으로 얻을 수 있습니다.