물리학의 법칙들 속 대칭성 : 뉴턴의 역학

 물리학의 법칙들은 기본적으로 대칭(symmetry)을 가지고 있습니다. 우리가 일상에서 흔히 대칭이라는 말을 많이 씁니다. 거울 속에 비친 자기의 모습, 데칼코마니 그림이나 직사각형 모양의 TV 등을 대칭이라고 하죠. '대칭'이라는 말 자체는 수학적 의미를 담고 있습니다. 독일의 수학자인 헤르만 바일(Hermann Klaus Hugo Weyl)은 대칭이란 말을 다음과 같이 표현했습니다.

 - 대상을 변화시켰을 때, 변화하지 않는 성질

 즉, 우리가 일반적으로 대칭이라고 생각하는 직사각형 모양의 물체들은 그 중심을 지나는 수직한 축에 대해서 뒤집어도 모양이 변하지 않고 같음을 알 수 있습니다. 이 때, 그 물체가 '좌우대칭'이라는 표현을 씁니다. 한편, 사람의 손과 같이 뒤집어도 모양이 같지 않으면 좌우대칭이 없다고 할 수 있습니다.

  이제 이걸 물리 법칙에 적용시켜 보려고 합니다. 안에 공이 이리 저리 움직이는 복잡한 기계가 작동하고 있다고 합시다. 이 기계 옆에 내부 구조와 방향이 모두 똑같은 기계를 하나 더 설치합니다. 그렇다면 원래의 기계를 '평행이동' 시킨다면, 추가로 설치한 기계와 완전히 똑같게 되겠죠. 이 때 두 기계의 움직임이 완벽히 일치할까요?

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 이것을 뉴턴의 역학 법칙에 적용시켜 보고자 합니다. 질량이 m인 입자에 적용되는 역학 법칙은 다음의 세 개의 방정식으로 표현할 수 있습니다.

 이 방정식의 의미는 3차원 직교 좌표계에서 각 좌표를 측정할 수 있고, 그 방향을 따라 위의 식과 같은 형태로 힘이 존재한다는 것입니다. 그런데, 측정하기 위해서는 측정하려는 좌표의 기준이 필요합니다. 즉, 3차원 좌표계의 원점이 주어져야 한다는 뜻입니다. 그렇다면