해석적 정수론의 놀라운 귀결들 : 오일러 상수 감마
줄리언 해빌이 쓴 <오일러 상수 감마>에 대해서 포스팅합니다.
실로 대단한 책이 아닐까요? 로그와 조화급수에서 출발해, 감마를 거쳐서 소수정리와 리만가설까지. 오일러를 토대로 만들어진 해석적 정수론의 놀라운 결과들이 숨막힐듯이 쏟아져서 감탄할 수 밖에 없는 책인 것 같습니다. 수식이 말 그대로 쏟아지는데, 기본적인 미적분만 할 수 있다면 이해하는데 문제가 없었습니다. 그래서 더 잘 쓴 책인 것 같습니다. 이 책은 제가 예전에 한 번 읽다가 다 못 읽고 반납한 적이 있는데, 이번에 다시금 눈에 띄여서 읽게 되었습니다. 그때는 수식을 따라가는데 급급했는데, 수학적 내공(?)이 어느정도 쌓여서 그런 것일까요... 어쨌든 완독할 수 있었습니다.
먼저 감마라는 상수에서 출발하는데, 정의는 조화급수와 로그함수의 차이로 정의되며 간단합니다. 그런데 이게 파이나 e와 같이 수학의 여러 군데서 곳곳 등장하는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 저자가 수학에서 제일 중요하다고 말하는 제타함수와 감마함수가 등장하면서 이게 소수와 연결되면서 수론에서의 여러 가지 정리들을 '맛볼 수 있게' 됩니다. 책의 중반부로 접어들어서는 감마를 어림하기 위한 여러 개의 노력들(수학적 귀결)이 나오고 마지막으로는 결국 수학사 전체를 통틀에 신비에 쌓여있는 소수의 분포를 어림하는 소수 정리까지 연결됩니다.
저렇게 한 문단으로 표시했는데, 그럴 수 밖에 없는 이유가 책에 제시되는 정리나 결과가 너무 많아서 뭐가 있는지, 제 머리로는 일일히 기억할 수 없기 때문입니다. 그래도 마지막에 집중해서 읽었던 부분을 보면, 소수와 관련된 세 가지 의문들 중 자연수 x 이하의 소수는 몇 개인가?에 관련된 질문을 해결하는 것이 수 백년 동안에 여러 수학자들을 거치면서 소수정리(prime number theorem)라는 하나의 이름으로 탄생하게 됐다는 것이죠. x이하의 소수의 갯수를 나타내는 함수를 pi(x)라고 하면, 이게 로그적분 Li(x)로 어림할 수 있다는 것이는 것입니다. 즉 pi(x)와 Li(x)의 비를 극한을 보내면 1이 나온다는 것이죠.
$$\pi (x)\sim Li(x)=\int _2^x {1\over \ln u}du$$
이걸 증명하는 것에 복소함수론이 쓰인다는 것 자체가 놀라웠습니다. 소수와 전혀 관련성이 없어보이는 데 말이죠. 복소함수론의 여러 가지 귀결들 중에 중요한 개념인 '해석적 접속'을 통해 제타함수를 복소수까지 확장합니다. 그리고 이 제타함수를 잘 볶아서 Li(x)로 근사하는 식이 나오는데, 이 식의 오차항은 실제타함수의 유기영점(non-trivial zero point)의 기하급수 형태로 주어져 있습니다. 복소수까지 확장시킨 제타함수에서 제테함수의 실수값이 0이되는 점 중에서 음의 짝수인 점 -2, -4, -6 ... 등은 trivial해서 빼고 나머지 점들을 유기영점이라 합니다. 이것의 실수부가 1보다 작으면 오차항이 0으로 수렴하게 됩니다. 이 아이디어 자체는 리만이 제시하고, 증명은 하디와 푸생이 독립적으로 했습니다.
그런데, 사실은 1보다 작은게 아니라 실수부가 전부 1/2라는 '관찰'이 지금까지 있어왔고, 이것을 리만가설이라고 합니다. 리만가설로 부터 끌려나오는 여러 가지 중요한 정리들 때문에 수학사에서 가장 중요하고 먼저 언급되는 미해결 문제로 인식되어 왔습니다. 컴퓨터의 계산으로 지금까지는 수억개의 유기영점들의 실수부가 1/2이라고 합니다.
정말 많은 내용이 압축적으로 담겨 있어서 오랜 기간을 두고 읽게 되었네요. 복소함수론에 대해서 부록에 있는 내용만 대략적으로 살펴볼 수 있었는데, 좀 더 자세하게 공부해 보고 싶다는 생각이 들었습니다. 물리학, 공학 여러 가지 방면으로 많이 응용되기도 하니까, 언젠가는 볼 일이 있을 것 같습니다. 아무튼 정말 대단하고 멋있는 책입니다.