Real number : Least upper bound property

 해석학은 실수의 성질을 다루는 것에서 출발합니다! 실수는 한마디로 '완비순서체'라고도 합니다. 유리수와 가장 큰 차이점이 바로 이 '완비성(completeness)'이라고 하는 것인데요. 이 완비성은 여러 가지로 표현이 됩니다. 가장 와닿는 말로는 '빈틈이 없다'는 것이죠. 중학교 때 처음 실수를 접할 때, 가장 쉬운 예로 제곱해서 2가 되는 수 등을 들죠. 유리수는 비록 완전한 하나의 쳬계를 갖추고 있지만, 위와 같이 2의 제곱근, pi나 e와 같은 무리수 등 말이죠. 그래서 이 갭을 채우기 위해 유리수로부터 이끌어낸(construct) 새로운 수의 체계를 실수(real number)라고 합니다.

 그래서 실수의 여러 가지 성질들을 이야기하기 위해서는 순서(order)라는 개념이 필요합니다. 순서는 어떤 집합에다가 선호관계를 주는 것이죠. 수학에서 관계(relation)라는 것은 여러 원소(member)들 사이에서 어떤 값을 끌어내는 것입니다. 관계의 예로는 두 집합 에서 결정할 수 있는 포함관계나, 가위바위보에서 가위/바위/보의 관계 같은 것 들을 생각할 수 있습니다. 순서는 두 가지 원소에다가 다음의 성질을 만족하도록 관계를 주는 것이죠.

1) 두 수 a, b에 대하여   중 하나는 반드시 성립한다.

2) 이면 이다.

 이거는 우리가 생각하는 크다/작다 는 생각과 일치합니다만, 그것을 추상화시켜서 생각한 개념입니다. 그래서 기호도 새로운 기호를 사용했죠. 앞에서 말한 집합의 포함관계는 순서가 아닙니다. 2)는 만족합니다. A<B, B<C이면 A<C 이니까요. (<기호를 포함관계를 나타내는 기호로 사용해 버렸습니다. 본문속에 자연스럽게 수식기호를 쓸 수 있는 방법이 있으면 좋겠는데 말이죠) A = {1, 2, 3}, B= {2, 3, 4}라고 둬버리면 A>B도 아니고 A<B도 아니고 A=B도 아니니까 1)을 만족시키지 못하죠. 또한 가위바위보 관계도 순서가 아닙니다. 가위=가위, 바위=바위, 보=보, 가위<바위, 보<가위, 바위<보 이므로 1)은 만족하는데, 가위<바위 바위<보 라고 해서 가위<보 인거는 아니니까 말이죠.

 우리가 크다/작다라고 일반적으로 생각하는 '관계'는 "a-b가 양(positive)이면, a>b다." 라고 정의하면 순서가 되는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 모든 원소에 대해 이걸 적용시킬 수 있으면 순서집합(ordered set)이라고 하는데, 유리수는 위와 같이 정의하면 순서집합이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

( 앞으로 크다/작다의 관계든, 그냥 추상적인 순서든 >, <와 같은 기호를 그냥 쓰겠습니다. )

 이제 집합내에서 원소들의 순서가 정해졌으니 집합이 정해져있으면 사람들은 자연스럽게 이런 생각을 했겠죠. 집합의 우두머리가 누구냐, 즉 가장 큰 놈과 가장 작은 놈을 알고 싶어 하는 것이죠. 그런데 문제가 생겼습니다. 꼭 그런 수가 존재하지 않는다는 것이죠. E = {x, 0<x<1}은 최솟값도 없고, 최댓값도 없죠. 그래도 이 집합에서 0과 1이라는 숫자는 의미가 있어보입니다. 그래서 '상한'과 '하한'이라는 개념을 생각해내게 됩니다.

 그전에 상계(upper bound)와 하계(lower bound)에 대해서 말씀드리면, 상계는 순서집합 S의 부분집합(subset) E의 모든 원소에 대해 어떤 가 존재하여 이면 베타를 상계라고 부르고 E는 위로 유계(bounded above)라고 합니다. 이제 이 상계 중에 제일 작은 것에 관심이 있는데, 이를 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라고 합니다. 정확한 정의로는

1) 가 상계이다.

2) 이면 는 상계가 아니다.

입니다. 즉, 그보다 조금만 작은 수를 잡으면 상계가 아닌 것. 말 그대로 최소상계가 되겠죠. 반대로 하계는 집합 의 모든 원소보다도 작은 수를 의미하며, 최대하계(greatest lower bound)는 조금만 큰 수를 잡으면 하계가 아닌 것을 말합니다. 최소상계는 상한이라고도 부르고, 최대하계는 하한(infimum)이라고도 부릅니다. 또, 정의에서 보면 바로 알 수 있겠지만 상한과 하한은 집합에 단 한개만 존재하기에, E의 상한과 하한이 각각 a, b라면 a = supE, b = infE라는 표현이 가능합니다.  (단, 최소/최대 라는 말은 크다/작다라는 순서에만 적용되므로 추상적인 순서에는 적용될 수 없는 말입니다만, 마땅한 용어가 생각나지 않습니다. 영어에서는 smallest과 largest대신에 least와 greatest를 사용하고 있는 점을 확인해주세요)

 자 이제, 0<x<1이라는 놈을 다시 살펴보면 얘가 유리수든 실수든 상한과 하한이 각각 1, 0이라는 것을 알 수 있겠죠. 그런데 이런 애는 어떨까요? B = { p는 유리수, p^2 < 2 } 로 정의하면 B는 분명히 위로 유계임에도 불구하고 유리수 범위에서 상한이 존재하지 않습니다. 그래서 상한이 존재한다는 것은 특별한 성질이고, 이를 Least upper bound property라고 합니다. 집합 S의 "임의의 부분집합이 위로 유계면 상한이 존재한다"가 성립할 경우 S는 l.u.b.p.를 가진다고 말합니다. 이는 실수에서는 존재하는 성질로서, 완비성이라고 부르는 이 성질을 통해 수열의 수렴성, 제곱근의 존재성, 실수지수의 존재성, 로그값의 존재성 및 유일성 등 많은 새로운 것들이 유도됩니다.

 l.u.b.p가 있으면 반대로 g.l.b.p.도 있겠죠? 그런데, 사실 이 둘은 동치입니다. 즉 어떤 수 체계가  l.u.b.p를 가지면 그로부터 아래로 하계인 부분집합의 최대하계가 항상 존재한다는 사실을 이끌어 낼 수 있습니다. 이에 대한 증명은 Field의 개념과 함께 다음 포스팅 때 다루어보도록 하겠습니다.

덧 : 쓰고 보니까 수식 가독성이 별로네요. 티스토리 내에서 수식을 자연스럽게 쓸 수 있는 방법 있을까요?